[논문 리뷰] The case of a generalised linear discrete time system with infinite many solutions

Nicholas Apostolopoulos, Fernando Ortega외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 04.

Stability and Control of Uncertain Systems참고 문헌 23인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 고유한 해가 존재하지 않는 특이 제곱 계수 행렬과 비일致한 초기 조건을 가진 일반화된 선형 이산 시간 시스템에 대한 최적 해를 제안한다. 행렬 펜슬 이론과 Weierstrass 표준형을 이용하여, 유한 고유구조의 열공간에 대한 투영을 통해 2노름 오차를 최소화하는 폐쇄형 최소제곱 최적 해를 유도한다.

ABSTRACT

In this article we study a class of generalised linear systems of difference equations with given non-consistent initial conditions and infinite many solutions. We take into consideration the case that the coefficients are square constant matrices with the leading coefficient singular. We provide optimal solutions and numerical examples to justify our theory.

연구 동기 및 목표

• 초기 조건이 비일치할 경우 고유한 해가 존재하지 않는 일반화된 선형 이산 시간 시스템에서의 해의 부재를 다루기.
• 주어진 계수 행렬이 특이하여 무수히 많은 해를 가질 경우 최적 해를 체계적으로 계산할 수 있는 방법을 제공하기.
• 기존의 정규 행렬 펜슬 결과를 확장하여 이산 시스템에서 비일치한 초기 조건을 다룰 수 있도록 일반화하기.
• Weierstrass 표준형과 직교 투영을 기반으로 계산 가능성이 높은 최적 해의 공식을 수립하기.
• 수치 예제를 통해 소규모 변동에 대한 수렴성과 안정성을 보여주며 이론적 프레임워크의 타당성 입증하기.

제안 방법

• 정칙 펜슬 $ sF - G $ 를 분석하기 위해 행렬 펜슬 이론을 적용하고, 비특이 행렬 $ P $ 와 $ Q $ 를 사용하여 Weierstrass 표준형으로 분해하기.
• 해공간을 유한 및 무한 기본 인수로 분해하고, $ Q_p $, $ J_p $, $ P_1 $, $ P_2 $ 를 통해 유한 부분을 분리하기.
• 일般 해를 $ Y_k = Q_p J_p^k C + Q D_k $ 로 표현하며, 여기서 $ D_k $ 는 입력 $ V_k $ 를 반영하고, 초기 조건이 비일치할 경우 $ C $ 는 자유 매개변수이다.
• 비일치한 초기 조건에 대해 $ \|Y_0 - \hat{Y}_0\|_2 $ 를 최소화하기 위해 $ Y_0 $ 를 $ Q_p $ 의 열공간에 투영하여 $ \hat{C} = (Q_p^* Q_p)^{-1} Q_p^* Y_0 $ 를 도출하기.
• 최적 해를 $ \hat{Y}_k = Q_p J_p^k (Q_p^* Q_p)^{-1} Q_p^* Y_0 $ 로 유도하며, 이는 초기 조건 오차를 최소제곱 기준으로 최소화한다.
• 수치 예제를 통해 방법을 검증하여, 초기 조건이 약간 변형된 경우 최적 해가 진짜 해에 매우 가까이 수렴함을 보여주기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특이 주도 계수 행렬과 비일치한 초기 조건을 가진 일반화된 선형 이산 시간 시스템에 대해 최적 해는 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ2 특이 펜슬으로 인해 무수히 많은 해를 가질 경우, 해공간의 수학적 구조는 어떻게 되는가?
• RQ3 행렬 펜슬 분해와 직교 투영을 이용해 최소제곱 최적 해를 효율적으로 계산할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ4 초기 조건이 약간 변형되어 일치하게 되었을 경우 최적 해와 고유한 해 사이의 관계는 어떻게 되는가?
• RQ5 비일치한 초기 조건에 대한 소규모 변동에 대해 제안된 방법의 수치적 성능은 어떠한가?

주요 결과

• 비일치한 초기 조건에 대한 최적 해는 $ \hat{Y}_k = Q_p J_p^k (Q_p^* Q_p)^{-1} Q_p^* Y_0 $ 로 주어지며, 이는 주어진 초기 상태와 투영된 초기 상태 간의 2노름 오차를 최소화한다.
• 초기 조건이 비일치할 경우 시스템은 무수히 많은 해를 가지지만, 최적 해는 유일하며 $ Q_p $ 의 열공간에 대한 직교 투영을 통해 유도된다.
• 예제 3.1에서 최적 해는 $ \hat{Y}_k = \frac{1}{3 \cdot 5^k} \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \\ 4 \\ 4 \\ \end{bmatrix} $ 로 주어지며, 이는 $ Y_0 = [1,1,1,1,1]^T $ 의 투영으로 유도된다.
• 예제 3.2에서 일치한 초기 조건은 고유한 해 $ Y_k = -\frac{4^k}{5^k} \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} $ 를 유도하며, 이는 이론적 프레임워크를 확인한다.
• 예제 3.3에서 소규모 변동 $ \|Y_0 - \hat{Y}_0\|_2 = 0.00018 $ 이 발생했을 경우 최적 해는 $ \hat{Y}_k = -\frac{12.9999 \cdot 4^k}{13 \cdot 5^k} \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} $ 로 유도되며, 일치한 경우와 거의 동일하다.
• 이 방법은 안정성과 연속성을 보장한다: 초기 조건의 소규모 변화는 최적 해의 소규모 변화로 이어지며, 이는 강건성을 확인한다.