[논문 리뷰] The cohomology rings of regular semisimple Hessenberg varieties for $h=(h(1),n,\ldots,n)$

Hiraku Abe, Tatsuya Horiguchi외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 04.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 26인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 유형 $A_{n-1}$에서 Hessenberg 함수 $h = (h(1), n, \ldots, n)$를 가진 정규 단순 복소수 Hessenberg 다양체의 코homology 링을 생성자와 관계를 통해 명시적으로 제시한다. 주요 결과는 Tymoczko가 구축한 cohomology 위의 $σ_n$-표현과 호환되는 링 구조를 제공하며, 동시에 Borel의 플래그 다양체 cohomology의 표현으로 자연스럽게 특수화되며, $σ_n$-불변 부분환의 명시적 제시를 도출한다.

ABSTRACT

We investigate the cohomology rings of regular semisimple Hessenberg varieties whose Hessenberg functions are of the form $h=(h(1),n\dots,n)$ in Lie type $A_{n-1}$. The main result of this paper gives an explicit presentation of the cohomology rings in terms of generators and their relations. Our presentation naturally specializes to Borel's presentation of the cohomology ring of the flag variety and it is compatible with the representation of the symmetric group $\mathfrak{S}_n$ on the cohomology constructed by J. Tymoczko. As a corollary, we also give an explicit presentation of the $\mathfrak{S}_n$-invariant subring of the cohomology ring.

연구 동기 및 목표

• 형식 $h = (h(1), n, \ldots, n)$를 가진 유형 $A_{n-1}$의 정규 단순 복소수 Hessenberg 다양체의 코homology 링 구조를 규명하는 것.
• Borel의 플래그 다양체 표현을 확장하여 생성자와 관계를 통해 코homology 링의 명시적 제시를 제공하는 것.
• Tymoczko가 구축한 cohomology 위의 $σ_n$-표현과 링 구조의 호환성을 확립하는 것.
• 이러한 Hessenberg 다양체의 코homology 링의 $σ_n$-불변 부분환에 대한 명시적 제시를 도출하는 것.

제안 방법

• 등변 cohomology의 GKM 제시를 활용하여 Hessenberg 다양체의 일반 cohomology 링을 분석한다.
• 다항식 링 $π[X_1, \ldots, X_n]$에서 cohomology 링 $H^*(X(h))$로의 맵을 구성하며, $X_k$를 클래스 $\check{x}_k$로 보낸다.
• GKM 관계와 Hessenberg 다양체의 구조를 바탕으로 유도된 관계를 사용하여 이 맵의 핵을 규명한다.
• Hilbert 급수 비교와 cohomology 링의 비틀림 없음 성질을 이용하여 유도된 맵이 동형임을 증명한다.
• $σ_n$-작용을 이용하여 cohomology 위의 불변 부분환을 서술하며, 대칭 다항식과 관계 $\check{x}_1 \prod_{\ell=2}^{h(1)} (\check{x}_1 - \check{x}_\ell) = 0$을 활용한다.
• 결과로 얻어진 제시를 $\epsilon$-계수에서의 정규 근본 Hessenberg 다양체 cohomology에 대한 알려진 결과와 비교하여 기존 이상과의 호환성을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 형식 $h = (h(1), n, \ldots, n)$를 가진 유형 $A_{n-1}$의 정규 단순 복소수 Hessenberg 다양체의 코homology 링에 대한 명시적 제시는 무엇인가?
• RQ2 코homology 링 구조는 Tymoczko가 구축한 cohomology 위의 $σ_n$-표현과 어떻게 관련되어 있으며, 호환되는가?
• RQ3 이러한 Hessenberg 다양체의 코homology 링의 $σ_n$-불변 부분환은 대칭 다항식과 추가 관계를 통해 명시적으로 서술될 수 있는가?
• RQ4 이 링 제시는 Borel의 플래그 다양체 cohomology 링 표현으로 자연스럽게 특수화되는가?
• RQ5 이 $σ_n$-불변 부분환의 제시는 알려진 정규 근본 Hessenberg 다양체 cohomology 링 제시와 호환되는가?

주요 결과

• Hessenberg 함수 $h = (h(1), n, \ldots, n)$에 대해 코homology 링 $H^*(X(h))$는 $\mathbb{Z}[X_1, \ldots, X_n] / (e_i(X_1, \ldots, X_n), X_1 \prod_{\ell=2}^{h(1)} (X_1 - X_\ell) \mid 1 \leq i \leq n)$ 와 동형이며, 여기서 $e_i$는 $i$-번째 기본 대칭 다항식이다.
• Hessenberg 함수의 첫 번째 성분이 $h(1) = n$일 때, 이 링 제시는 Borel의 플래그 다양체 cohomology 링 표현으로 자연스럽게 특수화되며, 기본 대칭 다항식을 통한 표준 표현을 복원한다.
• $σ_n$-불변 부분환 $H^*(X(h))^{σ_n}$은 $\mathbb{Z}[X_1, \ldots, X_n] / (e_i(X_1, \ldots, X_n), X_1 \prod_{\ell=2}^{h(1)} (X_1 - X_\ell) \mid 1 \leq i \leq n)$ 와 동형이며, 이는 $σ_n$-작용과의 호환성을 확인한다.
• $H^*(X(h))^{σ_n}$의 Hilbert 급수는 $\frac{1 - q^{h(1)}}{1 - q} \prod_{j=1}^{n-1} \frac{1 - q^j}{1 - q}$이며, 기대되는 불변 부분환의 Poincaré 급수와 일치한다.
• $σ_n$-불변 부분환의 제시는 $\mathbb{Q}$-계수에서의 정규 근본 Hessenberg 다양체 cohomology 링 제시와 호환되며, 둘 다 $\mathbb{Q}[X_1, \ldots, X_n]$에서 동일한 이상을 이룬다.
• $\mathbb{Z}[X_1, \ldots, X_n]$에서 $H^*(X(h))^{σ_n}$로의 맵은 Hilbert 급수 비교와 cohomology 링의 비틀림 없음 성질을 통해 동형임을 증명하였다.