[논문 리뷰] The commuting local Hamiltonian on locally-expanding graphs is in NP

Dorit Aharonov, Lior Eldar|arXiv (Cornell University)|2013. 11. 28.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 36인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 국소적으로 확장되는 그래프 위의 교환 국소 해밀토니안(CLH) 문제의 지면 에너지 근사값이 O(ε)의 덧셈 오차 내에서 가능한 경우, 이 문제가 NP에 속한다는 것을 보여준다. 여기서 ε는 그래프가 최적의 국소 확장에서 벗어남을 측정하는 값이다. 이 결과는 수정된 Dinur 스타일의 갭 확대와 알파벳 크기 감소 기법에 기반하며, 강력한 국소 확장이 양자 계산의 난이도를 억제함으로써 문제를 고전적 NP-완전성으로 줄여내지만, 동시에 NP-난이도는 유지함을 증명한다.

ABSTRACT

The local Hamiltonian problem is famously complete for the class QMA, the quantum analogue of NP. The complexity of its semi-classical version, in which the terms of the Hamiltonian are required to commute (the CLH problem), has attracted considerable attention recently due to its intriguing nature, as well as in relation to growing interest in the qPCP conjecture. We show here that if the underlying bipartite interaction graph of the CLH instance is a good locally-expanding graph, namely, the expansion of any constant-size set is e-close to optimal, then approximating its ground energy to within additive factor O(e) lies in NP. The proof holds for k- local Hamiltonians for any constant k and any constant dimensionality of particles d. We also show that the approximation problem of CLH on such good local expanders is NP-hard. This implies that too good local expansion of the interaction graph constitutes an obstacle against quantum hardness of the approximation problem, though it retains its classical hardness. The result highlights new difficulties in trying to mimic classical proofs (in particular Dinur's PCP proof) in an attempt to prove the quantum PCP conjecture. A related result was discovered recently independently by Brandao and Harrow, for 2-local general Hamiltonians, bounding the quantum hardness of the approximation problem on good expanders, though no NP-hardness is known in that case.

연구 동기 및 목표

• 교환 국소 해밀토니안(CLH) 문제의 복잡도를 명확히 하기, 특히 양자 PCP 추측과의 관계에서.
• CLH 인스턴스의 상호작용 그래프에서 강력한 국소 확장이 양자 계산 난이도를 억제할 수 있는지 조사하기.
• 이러한 확장 조건 하에서 CLH 문제의 난이도가 여전히 어렵거나, NP 내에서 다루기 쉬운지 결정하기.
• 그래프의 확장 성질과 해밀토니안 근사의 고전적 복잡도 대비 양자 복잡도 사이의 연결 고리 설정하기.

제안 방법

• Dinur의 PCP 증명 기법을 변형하여, 하한이 상수 C₀로 둔화된 갭 확대 3국소 제약 만족 문제(CSP)를 구성하기.
• 장코드 인코딩과 일관성 제약 조건을 사용하여 알파벳 크기를 줄이되, 갭 확대 특성을 유지하며, 수정된 Dinur의 장코드 테스트를 적용하기.
• CSP에서 3국소 해밀토니안을 구성하여, 상호작용 그래프의 국소 확장이 ε 정도로 최적에 가까워지도록 하되, 이중 지수적 알파벳 크기를 사용하여 확장 오차를 제어하기.
• 임의의 상수 크기 집합 S에 대해 확장 오차가 O(1/L) 이하로 제한됨을 보이며, 여기서 L은 알파벳 크기이며, 이를 적절히 선택하여 이 값이 ε 미만이 되도록 하기.
• 강력한 국소 확장 조건 하에서 결과 CLH 인스턴스가 NP에 속함을 증명하기 위해, 고전적 검증이 가능한 고전적 증거(상수 깊이 양자 회로를 통한)를 구성하기.
• 이러한 확장 그래프 위에서 근사 문제의 NP-난이도를 입증하여, NP 완전성 확보하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 교환 국소 해밀토니안 인스턴스의 상호작용 그래프에서 강력한 국소 확장이 그 문제의 양자 복잡도를 NP로 감소시키는가?
• RQ2 Dinur의 PCP 기법을 양자 환경에 적응시켜, 확장 그래프 위의 CLH가 NP에 속함을 보일 수 있는가?
• RQ3 국소 확장과 CLH 문제에서의 양자 난이도 억제 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 국소적으로 확장되는 그래프 위의 CLH 근사 문제는 NP에 속하고 동시에 NP-난이도를 지닌다 할 수 있는가, 즉 NP-완전성임을 의미하는가?
• RQ5 알파벳 크기와 장코드 구성의 선택이 결과 해밀토니안의 국소 확장 오차에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• ε-국소 확장을 갖는 국소적으로 확장되는 그래프 위의 교환 국소 해밀토니안 문제에서, 지면 에너지를 O(ε) 이내로 근사할 경우, 이 문제는 NP에 속한다.
• 이러한 그래프에서 근사 문제의 난이도는 여전히 NP-난이도를 지닌다. 따라서 이러한 확장 조건 하에서 문제는 NP-완전성이 된다.
• 증명은 수정된 Dinur 스타일의 갭 확대와 알파벳 크기 감소 기법을 사용하며, 이중 지수적 알파벳 크기를 사용하여 확장 오차를 제어한다.
• 임의의 상수 크기 집합에 대해 확장 오차는 O(1/L) 이하로 제한되며, 적절한 매개변수 조합을 통해 이 값이 ε 이하가 되도록 할 수 있다.
• 결과적으로 너무 좋은 국소 확장은 양자 난이도를 방해하는 장애물이 되며, 고전적 난이도는 여전히 유지됨을 보여준다.
• 브라운도와 하로우는 2국소 해밀토니안에 대해 유사한 결과를 별도로 발견했지만, 이 경우 NP-난이도는 알려져 있지 않다.