[논문 리뷰] The complexity of conjugacy, orbit equivalence, and von Neumann equivalence of actions of nonamenable groups

Eusebio Gardella, Martino Lupini|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 03.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 36인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 임의의 비아메니블러 가산离산군에 대해, 표준의 원소가 없는 확률공간 위에서의 자유적 에르고딕 또는 약한 혼합성 있는 측도를 보존하는 군 작용에 대한 쌍대성, 궤도 동치, 바르트만-바이어스트라스 동치 관계가 Borel가 아님을 증명한다. 에르고딕 pmp 동치관계의 계급-일대일 확장들을 사용하여, 저자들은 이러한 관계들이 본질적으로 복잡함을 보이며, 비아메니블러 군에 대한 할모스의 쌍대성 문제를 해결하고, 아메니블러 경우와의 뚜렷한 이원론을 확립한다. 아메니블러 경우에서는 이러한 작용들이 항상 궤도 동치이기 때문이다.

ABSTRACT

Building on work of Popa, Ioana, and Epstein--Törnquist, we show that, for every nonamenable countable discrete group $Γ$, the relations of conjugacy, orbit equivalence, and von Neumann equivalence of free ergodic (or weak mixing) measure preserving actions of $Γ$ on the standard atomless probability space are not Borel, thus answering questions of Kechris. This is an optimal and definitive result, which establishes a neat dichotomy with the amenable case, since any two free ergodic actions of an amenable group on the standard atomless probability space are orbit equivalent by classical results of Dye and Ornstein--Weiss. The statement about conjugacy solves the nonamenable case of Halmos' conjugacy problem in Ergodic Theory, originally posed by Halmos in 1956 for ergodic transformations. In order to obtain these results, we study ergodic (or weak mixing) class-bijective extensions of a given ergodic countable probability measure preserving equivalence relation $R$. When $R$ is nonamenable, we show that the relations of isomorphism and von Neumann equivalence of extensions of $R$ are not Borel. When $R$ is amenable, all the extensions of $R$ are again amenable, and hence isomorphic by classical results of Dye and Connes--Feldman--Weiss. This approach allows us to extend the results about group actions mentioned above to the case of nonamenable locally compact unimodular groups, via the study of their cross-section equivalence relations.

연구 동기 및 목표

• 비아메니블러 군의 자유적 에르고딕 및 약한 혼합성 있는 pmp 작용에 대한 쌍대성, 궤도 동치성, 바르트만-바이어스트라스 동치성 관계의 Borel 복잡도를 규명하는 것.
• 비아메니블러 군에 대해 할모스의 에르고딕 이론에서의 쌍대성 문제를 해결하기 위해 쌍대성이 Borel 관계가 아님을 보이는 것.
• 아메니블러 군과 비아메니블러 군 사이에 뚜렷한 이원론을 확립하는 것 — 아메니블러 군의 경우 모든 이러한 작용이 궤도 동치이지만, 비아메니블러 군의 경우 그렇지 않다는 점.
• 교차단면 동치관계를 통해 이산 군의 결과를 비아메니블러 국소 콪크한 유일성 군으로 확장하는 것.
• 이러한 동치관계의 복잡성이 본질적으로 기저 군 또는 동치관계의 비아메니블러성에서 기인한다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• 저자들은 고정된 에르고딕 가산 pmp 동치관계 R의 에르고딕 계급-일대일 pmp 확장을 연구하여, 이를 사용해 자유적 에르고딕 pmp 군 작용을 구성한다.
• R이 비아메니블러일 경우, 그 계급-일대일 확장들 위에서의 동형관계 및 바르트만-바이어스트라스 동치관계가 Borel가 아니라는 것을 보인다.
• R의 확장에서 비아메니블러 군 G의 작용으로 가는 Borel 사상 구축을 통해, 이 비-Borel 복잡성을 군 작용으로 이전시킨다.
• G-작용이 공간 X 위에서 정의된 코어팩트 교차단면 Y와 Borel 함수 π를 통해 궤도를 Y로 매핑하는 구조를 사용한다.
• 섬합곱 X ×_Y Y̅ 위에 유도된 작용 ζ_S 는 자유적, 에르고딕적이며 pmp임을 보이며, S ↦ ζ_S 에서의 쌍대성 및 바르트만-바이어스트라스 동치성이 유지됨을 보인다.
• 이 방법은 S ↦ ζ_S 의 할당이 표준적인 확장과 군 작용의 매개변수화에 대해 정규적이고 Borel임을 이용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비아메니블러 군이 표준의 원소가 없는 확률공간 위에서 자유적 약한 혼합성 pmp 작용의 쌍대성 관계가 곱공간의 Borel 부분집합인지 여쭙는다.
• RQ2 비아메니블러 군에 대해 이러한 작용의 궤도 동치성 및 바르트만-바이어스트라스 동치성 관계도 비-Borel인지 여쭙는다.
• RQ3 비아메니블러 경우는 아메니블러 경우와 본질적인 이원론을 보이는가? 아메니블러 경우에서는 모든 자유적 에르고딕 작용이 궤도 동치이기 때문이다.
• RQ4 이러한 동치관계의 복잡성이 Borel 구조를 통해 동치관계에서 군 작용으로 이전될 수 있는가?
• RQ5 계급-일대일 pmp 확장은 어떻게 비-Borel 쌍대성 및 동치관계를 갖는 작용을 생성하는가?

주요 결과

• 모든 비아메니블러 가산 이산군 Γ에 대해, 표준의 원소가 없는 확률공간 위에서의 자유적 약한 혼합성 pmp 작용의 쌍대성 관계는 곱공간의 Borel 부분집합이 아니다.
• 비슷하게, 자유적 에르고딕 pmp 작용의 쌍대성 관계 역시 동일하며, 이는 할모스의 쌍대성 문제의 비아메니블러 케이스를 해결한다.
• 궤도 동치성 및 바르트만-바이어스트라스 동치성 관계 역시 비-Borel이며, 이는 그들의 본질적 복잡성을 보여준다.
• 기저 동치관계 R이 비아메니블러일 경우, 그 계급-일대일 pmp 확장들 위에서의 동형관계 및 바르트만-바이어스트라스 동치관계는 Borel가 아니다.
• 아메니블러 R의 경우, 모든 확장은 아메니블러이므로 동형이므로, 아메니블러와 비아메니블러 경우 사이의 뚜렷한 대비를 보여준다.
• 결과는 교차단면 동치관계를 통해 비아메니블러 국소 콱크한 유일성 군으로 확장되며, 가우시안 작용을 사용해 자유적 에르고딕 pmp 작용을 실현할 수 있다.