[논문 리뷰] The Complexity of the Consistency and N-representability Problems for Quantum States

Liu, Yi-Kai|ArXiv.org|2007. 12. 18.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 76인용 수 20

한 줄 요약

이 논문은 양자 many-body 물리학의 두 핵심 문제인 국소 밀도 행렬의 일관성과 N-표현 가능성의 계산 복잡도를 규명한다. 멤버십 오라클을 사용한 볼록 최적화 기반 오라클 감소를 통해 두 문제 모두 QMA-완전임을 증명하며, 이는 국소 해밀토니안 프레임워크 외부에서 처음으로 제기된 QMA-완전 문제이자 양자 화학 및 양자 정보 이론 분야에서 오랫동안 남아 있던 열린 문제를 해결한다.

ABSTRACT

QMA (Quantum Merlin-Arthur) is the quantum analogue of the class NP. There are a few QMA-complete problems, most notably the ``Local Hamiltonian'' problem introduced by Kitaev. In this dissertation we show some new QMA-complete problems. The first one is ``Consistency of Local Density Matrices'': given several density matrices describing different (constant-size) subsets of an n-qubit system, decide whether these are consistent with a single global state. This problem was first suggested by Aharonov. We show that it is QMA-complete, via an oracle reduction from Local Hamiltonian. This uses algorithms for convex optimization with a membership oracle, due to Yudin and Nemirovskii. Next we show that two problems from quantum chemistry, ``Fermionic Local Hamiltonian'' and ``N-representability,'' are QMA-complete. These problems arise in calculating the ground state energies of molecular systems. N-representability is a key component in recently developed numerical methods using the contracted Schrodinger equation. Although these problems have been studied since the 1960's, it is only recently that the theory of quantum computation has allowed us to properly characterize their complexity. Finally, we study some special cases of the Consistency problem, pertaining to 1-dimensional and ``stoquastic'' systems. We also give an alternative proof of a result due to Jaynes: whenever local density matrices are consistent, they are consistent with a Gibbs state.

연구 동기 및 목표

• 아하르노프가 제기한 국소 밀도 행렬의 일관성 문제의 계산 복잡도를 규명하여, 국소 양자 상태가 전역 양자 상태로부터 유도될 수 있는지 평가한다.
• 수축된 슈뢰딩거 방정식과 같은 양자 화학 방법에 핵심적인 영향을 미치는 N-표현 가능성 문제의 복잡도를 규명한다.
• 국소 해밀토니안 문제를 초월하여 QMA-완전성의 이해를 확장하고, 구조적으로 다른 새로운 QMA-완전 문제를 제공한다.
• 1D 및 스토쿠아스틱 시스템과 같은 특수 케이스를 분석하고, 양자 정보 도구를 사용하여 제인스의 최대 엔트로피 원리를 재정립한다.

제안 방법

• 유디인과 네미로브스키가 개발한 멤버십 오라클을 사용한 볼록 최적화 알고리즘을 활용하여 국소 해밀토니안 문제에서 일관성 문제로의 오라클 감소를 수행한다.
• 국소 밀도 행렬을 큐비트 부분집합에서 파울리 연산자의 기대값으로 표현하여, 전역 밀도 행렬에 대한 선형 제약 조건으로 일관성 조건을 재구성한다.
• 국소 밀도 행렬의 일관성이 각 부분집합에서의 모든 파울리 기대값이 일치하는 것과 동치임을 증명하며, 힐베르트-슈미트 내적 하에서 파울리 행렬의 수직성 성질을 활용한다.
• 동일한 감소 프레임워크를 적용하여 페르미온 국소 해밀토니안 문제와 N-표현 가능성 문제 역시 QMA-완전임을 보인다.
• 이중성 추론과 볼록 기하학을 사용하여, 국소 밀도 행렬이 일관성이 있다면 그들은 게이부스 상태와도 일관성이 있음을 보이며, 제인스의 원리를 복원한다.
• 양자 정보 이론과 양자 복잡도 이론 기법을 활용하여 1D 및 스토쿠아스틱 시스템과 같은 특수 클래스를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 작은 큐비트 부분집합에 대한 국소 밀도 행렬 집합이 전역 양자 상태와 일관성이 있는지 여부를 판단하는 문제는 계산적으로 어렵게 되어 있는가?
• RQ2 특히 페르미온 시스템에 대해 양자 화학에서의 N-표현 가능성 문제의 복잡도는 무엇인가?
• RQ3 일관성 문제를 멤버십 오라클을 가진 볼록 최적화 문제로 감소시킬 수 있으며, QMA와 같은 복잡도 클래스에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 국소 해밀토니안 문제와 일관성 문제 사이에 다른 감소 방식(예: 매핑 감소)이 존재하는가?
• RQ5 클래식 PCP 정리에 유사하게 국소 해밀토니안의 QMA-완전성은 근사형으로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 국소 밀도 행렬의 일관성 문제는 각 부분집합에 상수 개의 큐비트가 포함되어 있을지라도 QMA-완전이며, 이는 국소 해밀토니안 문제와는 다를 바 있는 근본적인 QMA-완전 문제로 규명된다.
• 페르미온 시스템에 대한 N-표현 가능성 문제 역시 QMA-완전이며, 이는 오랫동안 남아 있던 양자 화학 분야의 열린 문제를 해결하고, 수축된 슈뢰딩거 방정식 기반 현대 수치 방법의 복잡도를 검증한다.
• 페르미온 국소 해밀토니안 문제 역시 QMA-완전임을 보이며, 양자 복잡도 이론의 적용 범위를 페르미온 many-body 시스템으로 확장한다.
• 논문은 제인스의 최대 엔트로피 원리에 대한 새로운 증명을 제공한다: 국소 밀도 행렬이 일관성이 있다면, 그들은 게이부스 상태와도 일관성이 있으며, 이는 볼록 이중성과 파울리 행렬 분해를 통해 유도된다.
• 1D 및 스토쿠아스틱 시스템과 같은 특수 케이스는 일반 케이스와 동일한 복잡도를 가지며, 최근 결과들은 특정 조건 하에서 평면 및 1D 시스템에 대해 잠재적인 PTAS가 존재할 수 있음을 시사한다.
• 국소 해밀토니안 문제에서 일관성 문제로의 감소는 멤버십 오라클을 사용한 볼록 최적화에 기반하며, 이 오라클의 정밀도 요구 조건은 향후 연구의 핵심 열린 문제로 지목된다.