[논문 리뷰] The Complexity of Translationally Invariant Problems Beyond Ground State Energies

James D. Watson, Johannes Bausch외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 23.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 39인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 국소 측정의 근사 시뮬레이션(APX-SIM)과 고에너지 상태 연결성(GSCON)이라는 두 가지 기본적인 양자 다체 문제의 계산 복잡성이, 이동 대칭성(translationally invariant) 1차원 시스템에서도 여전히 해석 불가능하다는 것을 입증한다. 저자들은 이동 대칭성과 같은 구조적 성질을 유지하는 일반적인 '상승 정리(lifting theorems)'를 도입하여, APX-SIM에 대해 PQMAEXP-완전성과 GSCON에 대해 QCMAEXP-완전성을 증명함으로써, 높은 대칭성과 물리적으로 자연스러운 설정에서도 복잡성이 유지됨을 보여준다.

ABSTRACT

It is known that three fundamental questions regarding local Hamiltonians -- approximating the ground state energy (the Local Hamiltonian problem), simulating local measurements on the ground space (APX-SIM), and deciding if the low energy space has an energy barrier (GSCON) -- are $\mathsf{QMA}$-hard, $\mathsf{P}^{\mathsf{QMA}[log]}$-hard and $\mathsf{QCMA}$-hard, respectively, meaning they are likely intractable even on a quantum computer. Yet while hardness for the Local Hamiltonian problem is known to hold even for translationally-invariant systems, it is not yet known whether APX-SIM and GSCON remain hard in such "simple" systems. In this work, we show that the translationally invariant versions of both APX-SIM and GSCON remain intractable, namely are $\mathsf{P}^{\mathsf{QMA}_{\mathsf{EXP}}}$- and $\mathsf{QCMA}_{\mathsf{EXP}}$-complete, respectively. Each of these results is attained by giving a respective generic "lifting theorem" for producing hardness results. For APX-SIM, for example, we give a framework for "lifting" any abstract local circuit-to-Hamiltonian mapping $H$ (satisfying mild assumptions) to hardness of APX-SIM on the family of Hamiltonians produced by $H$, while preserving the structural and geometric properties of $H$ (e.g. translation invariance, geometry, locality, etc). Each result also leverages counterintuitive properties of our constructions: for APX-SIM, we "compress" the answers to polynomially many parallel queries to a QMA oracle into a single qubit. For GSCON, we give a hardness construction robust against highly non-local unitaries, i.e. even if the adversary acts on all but one qudit in the system in each step.

연구 동기 및 목표

• APX-SIM과 GSCON이 구조적 단순성에도 불구하고 이동 대칭성 양자 시스템에서 여전히 해석 불가능한지 여부를 규명하는 것.
• 지역 해밀토니안 문제의 알려진 난이도 결과를 고에너지 상태 에너지 이외의 저에너지 성질로 확장하는 것.
• 회로-해밀토니안 매핑에서 난이도를 APX-SIM과 GSCON로 이행하면서도 이동 대칭성과 국소성과 같은 핵심 물리적 및 기하학적 제약 조건을 유지하는 일반적인 프레임워크—'상승 정리'—를 개발하는 것.
• 높은 대칭성과 낮은 차원성에도 불구하고 양자 복잡도가 유지됨을 보여주어, 복잡도론적 하한값의 물리적 관련성을 강화하는 것.

제안 방법

• 국소 회로-해밀토니안 구성에서 약한 조건을 만족하는 경우, 이동 대칭성과 국소성을 유지하면서 PQMAEXP-난이도를 갖는 APX-SIM 문제로 매핑하는 '상승 레지멘트(lemma)'를 도입한다.
• 다수의 병렬 QMA 오라클 질의를 단일 큐비트로 압축하는 새로운 메커니즘을 개발하여, 다수의 질의를 인코딩한 저에너지 공간을 구성한다.
• GSCON의 경우, 고에너지 상태가 시간에 따라 변화하는 역사를 기록하는 '역사 상태'를 포함하는, 강건하고 이동 대칭성 1차원 해밀토니안을 구축한다. 이때 목표 스위치 하위공간은 논리적으로 보호되어 있어, 각 시간 단계에서 유일한 큐디트를 제외한 모든 큐디트에 대한 악성 공격에도 저항한다.
• Gottesman-Irany(GI) 구조의 수정된 버전을 사용하고, 스펙트럼 이동을 추가하여 에너지 스펙트럼에 비자명한 프ом프스 갭을 확보함으로써 QCMAEXP-완전성을 달성한다.
• QCMAEXP 검증기의 오류 감소 기법을 적용하여 스펙트럼 이동 후에도 프로미스 갭이 충분히 크다는 것을 보장한다.
• 역사 상태의 문법적 정확성을 보장하기 위해 '시공간(clock)' 구조를 사용하며, 국소 항목을 통해 이동 대칭성을 유지하는 에너지 페널티를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이동 대칭성 1차원 양자 시스템에서도 APX-SIM이 여전히 PQMAEXP-완전한가? 구조적 단순성에도 불구하고.
• RQ2 GSCON이 이동 대칭성 1차원 시스템에서, 심지어 매우 비국소적인 악성 공격 조건 하에서도 여전히 QCMAEXP-완전한가?
• RQ3 회로-해밀토니안 매핑에서 난이도를 APX-SIM과 GSCON로 이행하면서도 이동 대칭성과 국소성을 유지하는 일반적인 상승 정리를 구성할 수 있는가?
• RQ4 난이도 상승 과정 중에 유지할 수 있는 구조적 및 기하학적 제약 조건은 무엇이며, 이로 인해 결과 문제의 복잡성이 손상되지 않는가?
• RQ5 다양한 복잡도 클래스에서 국소 해밀토니안 문제의 복잡도와 APX-SIM, GSCON의 복잡도를 연결하는 통합 프레임워크가 존재하는가?

주요 결과

• 이동 대칭성 버전의 APX-SIM은 1차원 시스템에서도 PQMAEXP-완전하며, 고에너지 상태에서 국소 측정을 시뮬레이션하는 것이 고도의 대칭성 하에서도 여전히 해석 불가능함을 보여준다.
• 이동 대칭성 버전의 GSCON은 QCMAEXP-완전이며, 저에너지 연결 경로를 결정하는 것이 고도의 대칭성과 낮은 차원성 시스템에서도 여전히 어렵다는 것을 보여준다.
• 스펙트럼 이동을 적용한 후, YES 케이스에서는 고에너지 상태 에너지가 0과 ϵ/N² 사이에 위치하고, NO 케이스에서는 최소 (1−ϵ)/N² 이상이 되는 1차원 이동 대칭 해밀토니안을 구성하였다. 이는 비자명한 프로미스 갭을 확보한다.
• APX-SIM에 대한 상승 프레임워크를 통해, 이동 대칭성과 저차원 구조(예: [BCO17]에서의 구조)를 사용하여 난이도를 증명할 수 있으며, 이는 이전 증명보다 크게 단순화된다.
• GSCON의 구성은 '논리적으로 보호된' 목표 스위치 하위공간과 시공간 클록 메커니즘을 통해, 각 시간 단계에서 유일한 큐디트를 제외한 모든 큐디트에 대한 공격에 강건하다.
• 논문은 QCMAEXP 검증기에 오류 감소 기법을 적용하여 스펙트럼 이동 후에도 프로미스 갭을 비자명하게 유지할 수 있음을 입증함으로써, 완전성 및 타당성 조건을 충족시킴을 보였다.