[논문 리뷰] The comprehension construction

Emily Riehl, Dominic Verity|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 30.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 루리에의 unstraightening의 ∞-카테고리 버전인 이해 구축(comprehension construction)을 도입한다. 이는 ∞-카테고리 A에서 B로의 함자를, B 위의 코카르테시안 피브레이션에 沿해 당김으로써 정의되며, 함수를 통해 B 위의 코카르테시안 피브레이션으로 보냅니다. 이 구축이 특수한 경우로 양의 Yoneda 임bedding을 유도함을 보이고, 준위치 호모토피 호모토피 일관성 신경과 칸-복합체로 강화된 카테고리에서의 함수 복합체 간의 명시적 동치를 통해 완전 충실성(fully faithfulness)을 증명합니다.

ABSTRACT

In this paper we construct an analogue of Lurie's "unstraightening" construction that we refer to as the "comprehension construction". Its input is a cocartesian fibration $p \colon E o B$ between $\infty$-categories together with a third $\infty$-category $A$. The comprehension construction then defines a map from the quasi-category of functors from $A$ to $B$ to the large quasi-category of cocartesian fibrations over $A$ that acts on $f \colon A o B$ by forming the pullback of $p$ along $f$. To illustrate the versatility of this construction, we define the covariant and contravariant Yoneda embeddings as special cases of the comprehension functor. We then prove that the hom-wise action of the comprehension functor coincides with an "external action" of the hom-spaces of $B$ on the fibres of $p$ and use this to prove that the Yoneda embedding is fully faithful, providing an explicit equivalence between a quasi-category and the homotopy coherent nerve of a Kan-complex enriched category.

연구 동기 및 목표

• 특정 모델(예: 준위치 카테고리)에 종속되지 않는, ∞-코스모스 내에서 ∞-카테고리 이론의 합성적이고 공리적 프레임워크를 개발하는 것.
• 새로운 구축인 이해 구축을 통해 루리에의 unstraightening 구축을 더 넓은 맥락으로 일반화하는 것.
• 공변 및 반공변 Yoneda 임bedding이 이 이해 함자의 특수한 경우임을 보여주는 것.
• 준위치 카테고리와 칸-복합체로 강화된 카테고리에서의 함수 복합체 간의 명시적 동치를 통해 Yoneda 임bedding의 완전 충실성을 증명하는 것.
• 이해 함자가 함수 공간에 작용하는 방식이 코카르테시안 피브레이션의 섬유 위에 B의 함수 공간 Hom_B(a,b)의 외부 작용과 일치함을 보여주는 것.

제안 방법

• 이해 구축은 각 함수 f: A → B에 대해 고정된 코카르테시안 피브레이션 p: E ↠ B를 당김하여, 함수의 ∞-카테고리 Fun(A, B)에서 A 위의 코카르테시안 피브레이션의 ∞-카테고리로 가는 함수로 정의됩니다.
• 이 구축은 준위치 카테고리와 완전한 세갈 공간 등과 같은 모델을 초월하는 ∞-코스모이 이론에 기반합니다.
• 고차원 카테고리적 구조를 모델링하고 ∞-코스모스 내에서 함수 복합체를 계산하기 위해 호모토피 일관성 신경과 호모토피 일관성 실현이 사용됩니다.
• 함수 공간 위에서 이해 함자의 작용이, B의 함수 공간 Hom_B(a,b)가 b 위의 p의 섬유 위에 작용하는 외부 작용과 일치함을 보이기 위해 당김 다이어그램과 함수 복합체 계산이 사용됩니다.
• Yoneda 임bedding의 완전 충실성 증명은 이해 구축과 코카르테시안 피브레이션의 보편 성질을 이용하여 명시적 역 동치를 구성함으로써 진행됩니다.
• ∞-코스모스의 호모토피 2-카테고리를 사용하여, 호모토피적으로 의미 있는 방식으로 2-카테고리적 구성(예: 수반, 극한)을 형식화합니다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 루리에의 unstraightening 구축은 ∞-카테고리 이론의 합성적이고 모델에 종속되지 않는 프레임워크로 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ2 Yoneda 임bedding은 코카르테시안 피브레이션의 맥락에서 더 일반적인 구축의 특수한 경우로 유도될 수 있는가?
• RQ3 이해 함자가 함수 공간에 작용하는 방식과 코카르테시안 피브레이션의 섬유 위에 Hom_B(a,b)의 외부 작용 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ4 이해 구축은 호모토피 일관성 신경과 칸-복합체로 강화된 카테고리의 신경과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 ∞-코스모이 맥락에서 이해 구축이 만족하는 보편 성질은 무엇인가?

주요 결과

• 이해 구축은 각 함수 f: A → B에 대해 당김을 통해 Fun(A, B)에서 A 위의 코카르테시안 피브레이션의 ∞-카테고리로 가는 함수를 제공합니다.
• Yoneda 임bedding은 이해 구축의 특수한 경우로, 특히 B 위의 항등함수에 적용했을 때 나타납니다.
• 이해 함자가 함수 공간에 작용하는 방식은 당김 다이어그램과 함수 복합체의 동치를 통해, b 위의 p의 섬유 위에 Hom_B(a,b)의 외부 작용과 동치임을 보여줍니다.
• Yoneda 임bedding은 완전 충실하며, 준위치 카테고리 B와 B 위의 표현 가능한 코카르테시안 피브레이션의 전부분의 부분카테고리의 호모토피 일관성 신경 사이에 명시적 역 동치를 구성함으로써 증명됩니다.
• 완전 충실성의 증명은 식 (7.2.13)이 동치임을 보이고, 그 역으로 식 (7.2.12)의 함수가 주어지며, 함수 복합체의 표준적 식별을 확립합니다.
• 이 구축은 B 위의 표현 가능한 코카르테시안 피브레이션의 전부분의 부분카테고리의 호모토피 일관성 신경이 B 자체와 동치임을 보여주며, 준위치 카테고리의 모델에 종속되지 않는 카테고리 이론의 특성화를 제공합니다.