[논문 리뷰] The cone of type A, level one conformal blocks divisors

Noah Giansiracusa, Angela Gibney|arXiv (Cornell University)|2011. 05. 16.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 30인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 모듈리 공간 $\overline{\mathcal{M}}_{0,n}$ 상의 타입 A, 수준 1의 conformal blocks 나눗셈자들이 네프 콘의 유한 생성되며, 전체 차원을 차지하는 부분콘을 생성함을 증명한다. 이 나눗셈자들은 평탄한 Veronese 곡선의 극한에 대한 점들의 구성으로 매개화되는 GIT 몫을 통해 유도되는 사상들을 제공하며, 나눗셈자 클래스 간의 항등식들에 기하학적이고 모듈러적인 의미를 제공하고, 확장된 Torelli 사상에 의해 히퍼에일리프틱 및 순환 삼중곡선 계열과 연결된다.

ABSTRACT

We prove that the type A, level one, conformal blocks divisors on $\bar{M}_{0,n}$ span a finitely generated, full-dimensional subcone of the nef cone. Each such divisor induces a morphism from $\bar{M}_{0,n}$, and we identify its image as a GIT quotient parameterizing configurations of points supported on a flat limit of Veronese curves. We show how scaling GIT linearizations gives geometric meaning to certain identities among conformal blocks divisor classes. This also gives modular interpretations, in the form of GIT constructions, to the images of the hyperelliptic and cyclic trigonal loci in $\bar{M}_{g}$ under an extended Torelli map.

연구 동기 및 목표

• 모듈리 공간 $\overline{\mathcal{M}}_{0,n}$ 상의 타입 A, 수준 1 conformal blocks 나눗셈자들의 콘은 네프 콘 내에서 유한 생성되며 전체 차원을 차지함을 증명하는 것.
• 이 나눗셈자들에 의해 유도되는 사상들의 기하학적 이미지를 Veronese 곡선의 평탄한 극한에 대한 점들의 구성으로 매개화하는 GIT 몫으로 식별하는 것.
• GIT 선형화의 스케일링을 통해 conformal blocks 나눗셈자 클래스 간의 항등식들에 기하학적 의미를 제공하는 것.
• 히퍼에일리프틱 및 순환 삼중곡선 계열의 이미지를 확장된 Torelli 사상 하에서 $\overline{\mathcal{M}}_g$ 상에 모듈러적이고 GIT 기반의 구성으로 제공하는 것.

제안 방법

• 저자들은 conformal blocks 나눗셈자들의 콘가 Veronese 곡선 상의 점 구성으로부터 유도되는 유한 개의 GIT 콘에 의해 생성됨을 보여준다.
• Thaddeus와 Dolgachev-Hu의 변동 기법을 적용하여 이러한 GIT 콘의 유한 생성성을 확립한다.
• 유도된 사상들은 잊어버림 사상, Hassett 모듈리 공간 사상, 그리고 GIT 몫 $V_{d,k}//_{\vec{c}}\operatorname{SL}_{d+1}$ 으로의 비라시오널 사상의 합성으로 분해된다.
• 무게 $w$, 랭크 $m$, 차수 $d$ 사이의 관계를 사용하여, 매핑 $\varphi_{d,(1,\ldots,1)}^*$를 통해 나눗셈자 클래스를 매개화한다.
• conformal blocks 나눗셈자들의 이중성 성질(예: Gale 이중성)을 활용하여 서로 다른 나눗셈자 클래스들을 연결하고 독립적 생성자 수를 줄인다.
• 확장된 Torelli 사상과 허지 클래스 $\lambda$ 의 역상에 관한 기존 결과를 사용하여 conformal blocks 나눗셈자들과 히퍼에일리프틱 및 순환 삼중곡선 계열을 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모듈리 공간 $\overline{\mathcal{M}}_{0,n}$ 상의 타입 A, 수준 1 conformal blocks 나눗셈자들의 콘은 네프 콘의 유한 생성 부분콘을 형성하는가?
• RQ2 conformal blocks 나눗셈자 $\mathcal{CB}(A,1)$ 에 의해 유도된 사상의 기하학적 이미지는 무엇인가?
• RQ3 GIT 선형화의 스케일링은 conformal blocks 나눗셈자 클래스 간의 항등식과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 히퍼에일리프틱 및 순환 삼중곡선 계열의 이미지 $\overline{\mathcal{M}}_g$ 상에서, 이들은 준-Veronese 곡선 상의 점 구성의 GIT 몫으로 실현될 수 있는가?
• RQ5 GIT 구성에 의한 나눗셈자 클래스 $\mathbb{D}^{\mathfrak{sl}_m}_{1,w}$ 의 모듈러적 해석은 무엇인가?

주요 결과

• 표현 $\mathcal{CB}(A,1)$ 가 생성하는 콘은 $\operatorname{N}^1(\overline{\mathcal{M}}_{0,n})$ 내에서 유한 생성되며 전체 차원을 차지하며, MDS 추측이 예측한 무한한 극단선의 가능성 문제를 해결한다.
• 각 conformal blocks 나눗셈자는 Hassett 모듈리 공간을 통과하고, $\mathbb{P}^d$ 상의 준-Veronese 곡선 상의 $k$-개의 점들의 구성으로 매개화되는 GIT 몫 $V_{d,k}//_{\vec{c}}\operatorname{SL}_{d+1}$ 로 사상되는 사상을 유도한다.
• $\mathbb{D}^{\mathfrak{sl}_m}_{1,w}$ 와 관련된 사상의 이미지는 $d$ 가 무게 데이터에 의해 결정될 때, $V_{d,k}//_{\vec{c}}\operatorname{SL}_{d+1}$ 의 정규화와 동형이다.
• 확장된 Torelli 사상 하에서 히퍼에일리프틱 계열 $\overline{\operatorname{H}}_g$ 의 이미지의 정규화는 $(V_{g,2g+2}//\operatorname{SL}_{g+1})/S_{2g+2}$ 와 동형이며, 이는 $\mathbb{P}^g$ 상의 $2g+2$ 개의 순서 없는 점들의 구성으로 매개화된다.
• 순환 삼중곡선 계열 $\overline{\operatorname{CT}}_g$ 의 이미지의 정규화는 $g$ 가 $3$ 으로 나누어떨어지면, $(V_{\frac{g+2}{3},g+2}//\operatorname{SL}_{\frac{g+5}{3}})/S_{g+2}$ 와 동형이며, 이는 $\mathbb{P}^{\frac{g+2}{3}}$ 상의 $g+2$ 개의 점들의 구성으로 매개화된다.
• 히퍼에일리프틱 및 순환 삼중곡선 사상에 의한 허지 클래스 $\lambda$ 의 역상은 conformal blocks 나눗셈자의 합으로 표현되며, $h^*(\lambda) = \frac{1}{2}\mathbb{D}^{\mathfrak{sl}_2}_{1,(1,\ldots,1)}$ 와 $f_{g+2,3}^*(\lambda) = \frac{2}{3}\mathbb{D}^{\mathfrak{sl}_{g+2}}_{1,((g+2)/3,\ldots,(g+2)/3)}$ 로 주어져 기하학적 일관성을 확인한다.