[논문 리뷰] The convex dimension of hypergraphs and the hypersimplicial Van Kampen-Flores Theorem

Leonardo Martínez-Sandoval, Arnau Padrol|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 03.

Topological and Geometric Data Analysis참고 문헌 42인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 완전한 k-균일 초그래프의 볼록 차원을 완전히 규명하며, n ≥ 2k + 2이면 2k, n ∈ {2k−1, 2k, 2k+1} 이면 n−2, n ≤ 2k−2 이면 2n−2k임을 증명한다. 저자들은 초단체 ∆n,k의 꼭짓점을 유지하는 애핀 사영을 사용하여 문제를 재구성함으로써, van Kampen-Flores 정리의 초단체 일반화를 제시하고, 초단체의 i-스켈레톤을 유지하는 사영의 전체 특성화를 제공한다.

ABSTRACT

The convex dimension of a $k$-uniform hypergraph is the smallest dimension $d$ for which there is an injective mapping of its vertices into $\mathbb{R}^d$ such that the set of $k$-barycenters of all hyperedges is in convex position. We completely determine the convex dimension of complete $k$-uniform hypergraphs, which settles an open question by Halman, Onn and Rothblum, who solved the problem for complete graphs. We also provide lower and upper bounds for the extremal problem of estimating the maximal number of hyperedges of $k$-uniform hypergraphs on $n$ vertices with convex dimension $d$. To prove these results, we restate them in terms of affine projections that preserve the vertices of the hypersimplex. More generally, we provide a full characterization of the projections that preserve its $i$-dimensional skeleton. In particular, we obtain a hypersimplicial generalization of the linear van Kampen-Flores theorem: for each $n$, $k$ and $i$ we determine onto which dimensions can the $(n,k)$-hypersimplex be linearly projected while preserving its $i$-skeleton. Our results have direct interpretations in terms of $k$-sets and $(i,j)$-partitions, and are closely related to the problem of finding large convexly independent subsets in Minkowski sums of $k$ point sets.

연구 동기 및 목표

• 모든 k와 n에 대해 완전한 k-균일 초그래프 K(k)n의 볼록 차원을 결정하는 것.
• 볼록 차원 d를 가진 k-균일 초그래프에서 최대 초간선 수에 대한 날것의 경계를 설정하는 것.
• 초단체로 일반화된 선형 van Kampen-Flores 정리를 위해 ∆n,k의 i-스켈레톤을 유지하는 사영을 특성화하는 것.
• 볼록 임bedding과 이산 기하학에서의 Minkowski 합 및 k-집합의 관계를 연결하는 것.
• 고차원 구성에서 볼록 위치와 관련된 볼록 조합 최적화 및 극값 조합론 분야의 열린 문제를 해결하는 것.

제안 방법

• 초그래프의 볼록 임bedding을 ∆n,k의 꼭짓점을 엄격히 유지하는 애핀 사영으로 재구성하는 것.
• Ziegler의 사영 레미마와 Sanyal의 프레임워크를 사용하여 사영이 ∆n,k의 i-스켈레톤을 유지하는 조건을 분석하는 것.
• ∆n,k가 i-스켈레톤을 유지하는 사영을 허용하는 최소 차원 d(n,k,i)를 특성화하는 것.
• 완전한 k-균일 초그래프의 볼록 임bedding과 ∆n,k의 0-스켈레톤(꼭짓점)을 유지하는 사영 사이의 전단사 관계를 설정하는 것.
• 다양체 기하학과 Minkowski 합의 구조를 활용하여 볼록 임bedding을 k-집합과 (i,j)-분할과 연결하는 것.
• 감소한 plabic 그래프와 Grassmannian 분할의 결과를 활용하여 이론적 프레임워크를 뒷받기키는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 n과 k에 대해 완전한 k-균일 초그래프 K(k)n의 정확한 볼록 차원은 무엇인가?
• RQ2 n차원에서 ∆n,k를 선형적으로 사영할 수 있는 차원 d는 언제이며, 그 동안 i-스켈레톤을 유지하는가?
• RQ3 볼록 차원 d를 가진 k-균일 초그래프에서 초간선 수를 극대화하는 문제는 n과 k에 따라 어떻게 척도화되는가?
• RQ4 볼록 임bedding과 k개 점 집합의 Minkowski 합의 구조 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 van Kampen-Flores 정리는 위상적 또는 조합론적으로 초단체로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 2 ≤ k ≤ n−2 이면, K(k)n의 볼록 차원은 n ≥ 2k + 2이면 2k, n ∈ {2k−1, 2k, 2k+1} 이면 n−2, n ≤ 2k−2 이면 2n−2k이다.
• k = 1이면, n = 2이면 cd(K(1)n) = 1, n ≥ 3이면 2이다; k = n−1 이면, n ≥ 3이면 cd(K(n−1)n) = 2이다.
• ∆n,k가 i-스켈레톤을 유지하는 사영을 허용하는 최소 차원 d(n,k,i)는 n ≥ 2k+2i+2 이면 2k+2i, n ≤ 2k−2i−2 이면 2n−2k+2i, 2k−2i−1 ≤ n ≤ 2k+2i+1 이고 k ∈ An,i 이면 n−1, 그 외의 경우 n−2이다.
• 이 결과는 초단체로 일반화된 선형 van Kampen-Flores 정리를 제공하며, 초단체의 스켈레톤을 유지하는 사영에 대해 최소 차원을 규명한다.
• 이 특성화는 n개 점 집합의 모든 k-중심점이 k-집합 다면체의 꼭짓점이 될 수 있음이 그에 해당하는 차원에서 K(k)n의 볼록 차원이 실현될 때에만 성립함을 암시한다.
• 이 프레임워크는 특히 매트로이드 다면체를 포함한 다른 초그래프의 관련 초간선 다면체를 통해 확장되며, Minkowski 합과 볼록 독립성의 극값 문제와 연결된다.