[논문 리뷰] The cyclic theory of Hopf algebroids

Niels Kowalzig, Hessel Posthuma|arXiv (Cornell University)|2009. 04. 30.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 3인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 호프 알geb로이드의 모듈러 범주와 순환 대칭성에 기반하여 체계적인 순환 코hom로지 및 호모로지 이론을 개발하며, 가환 및 코가환 경우에 대한 구조 정리와 함께 리-린하르트 대수와 에탈 군oids에 대한 이론의 명시적 계산을 수행한다. 이는 바나 에스트 동형사상과 제트 대수를 통한 리 대수 코hom로지와 같은 기존 결과들을 복원한다.

ABSTRACT

We give a systematic description of the cyclic cohomology theory of Hopf algebroids in terms of its associated category of modules. Then we introduce a dual cyclic homology theory by applying cyclic duality to the underlying cocyclic object. We derive general structure theorems for these theories in the special cases of commutative and cocommutative Hopf algebroids. Finally, we compute the cyclic theory in examples associated to Lie-Rinehart algebras and étale groupoids.

연구 동기 및 목표

• 호프 알geb로이드의 모듈러 범주를 이용하여 순환 코hom로지의 체계적 프레임워크를 수립하기.
• 순환 대칭성을 적용한 코순환 대상에 기반하여 이중 순환 호모로지 이론을 도입하기.
• 가환 및 코가환 호프 알geb로이드에 대한 일반적인 구조 정리 유도하기.
• 리-린하르트 대수와 에탈 군oids를 포함한 기하적 예제에서 순환 이론을 계산하기.
• 바나 에스트 동형사상을 통해 기존의 불변량인 리 대수 코hom로지와 군oids 호모로지와의 관계를 규명하기.

제안 방법

• 호프 알geb로이드 위의 모듈러 범주와 관련된 표준 코순환 대상을 통해 호프-순환 코hom로지 구축하기.
• 기저가 되는 코순환 대상에 순환 대칭성을 적용하여 이중 순환 호모로지 이론 정의하기.
• 호프-갈로아 사상으로 호프 알geb로이드의 쌍대원소 구조와 순환 대칭성을 연결하기.
• 바르 및 코바르 분해를 사용하여 호프 알geb로이드의 맥락에서 호크시ลด 이론을 계수와 함께 묘사하기.
• 코불변 및 불변 구성 방법을 활용하여 순환 이론을 기하학적 불변량과 연결하기.
• 리-린하르트 대수의 제트 공간 구성 방법을 활용하여 관련 호프 알geb로이드를 정의하고 그 순환 호모로지 계산하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 호프 알geb로이드의 모듈러 범주를 이용하여 순환 코hom로지를 어떻게 체계적으로 정의할 수 있는가?
• RQ2 순환 대칭성을 적용하여 도출된 이중 순환 호모로지 이론의 구조는 어떠한가?
• RQ3 가환 및 코가환 경우에서 순환 이론은 어떻게 단순화되는가?
• RQ4 에탈 군oids의 순환 호모로지와 그 군oids 호모로지 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 제트 대수를 통한 리-린하르트 대수의 순환 이론은 어떻게 리 대수 코호모로지를 복원하는가?

주요 결과

• 리-린하르트 대수의 제트 대수의 순환 코호모로지는 그 기저 리 대수의 자명한 계수를 갖는 리 대수 코호모로지와 동형이다.
• 에탈 군oids의 경우, 그 제트 대수의 순환 호모로지는 군oids 호모로지와 동형이며, 바나 에스트 동형사상의 일반화이다.
• 리 군대수의 단위에서의 제트 대수의 순환 호모로지는 해당 리 대수의 리 대수 코호모로지와 동형이다.
• 아핀 다양체의 좌표환의 순환 코호모로지는 그 대수적 드 라함 코호모로지 군들의 곱과 동형이다.
• 리 군oids에 관련된 호프 알geb로이드의 이중 순환 호모로지는 그 군oids의 미분 코호모로지를 복원한다.
• 제트 공간을 통한 리 군대수에서 호프 알geb로이드를 구성하는 방법은 비가환 기하학에서 순환 불변량을 계산하는 데 일관된 프레임워크를 제공한다.