[논문 리뷰] The de Rham-Fargues-Fontaine cohomology

Arthur-César Le Bras, Alberto Vezzani|arXiv (Cornell University)|2021. 05. 27.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 17인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 양의 특성에서 퍼펙트로이드 공간 위의 리지드 애날리틱 기하구조에 대해 새로운 함수적(cohomology) 이론인 de Rham-Fargues-Fontaine 코homology를 소개한다. 상대적 과수렴 de Rham 코homology와 상대 Fargues-Fontaine 곡선을 따라 하는 모티빅 풀백을 조합함으로써, 스펙트럼이 매끄럽고 완전하거나 기저가 퍼펙트로이드 체인일 경우에 벡터 번들의 코homology층을 가지는 완전한 복합체로 구성된 고체 준가환층 복합체를 얻는다. 이는 Scholze의 추측을 증명한다.

ABSTRACT

We show how to attach to any rigid analytic variety $V$ over a perfectoid space $P$ a rigid analytic motive over the Fargues-Fontaine curve $\mathcal{X}(P)$ functorially in $V$ and $P$. We combine this construction with the overconvergent relative de Rham cohomology to produce a complex of solid quasi-coherent sheaves over $\mathcal{X}(P)$, and we show that its cohomology groups are vector bundles if $V$ is smooth and proper over $P$ or if $V$ is quasi-compact and $P$ is a perfectoid field, thus proving and generalizing a conjecture of Scholze. The main ingredients of the proofs are explicit $\mathbb{B}^1$-homotopies, the motivic proper base change and the formalism of solid quasi-coherent sheaves.

연구 동기 및 목표

• 특성 0의 애달릭 공간 위의 리지드 애날리틱 기하구조에 대해 함수적이고 B1-불변성을 갖는 상대적 과수렴 de Rham 코homology 이론을 정의한다.
• 퍼펙트로이드 공간 P 위의 리지드 애날리틱 모티브에서 상대 Fargues-Fontaine 곡선 X(P) 위의 모티브로 가는 모티빅 풀백 함자를 구성한다.
• 이 풀백과 de Rham 코homology의 복합체가 매끄럽고 완전한 기하구조이거나 기저가 퍼펙트로이드 체일 경우에 완전한 복합체이자 벡터 번들의 코homology층을 가지는지를 증명한다.
• Scholze의 Fargues-Fontaine 설정에서 코homology의 유한성에 대한 추측을 일반화하고 증명한다.
• 완전한 Fp-대수 A에 대해 Spa(A) 위에서 리지드 코hom로지의 전역적 실현을 de Rham-Fargues-Fontaine 함수를 통해 확립하며, 모티빅 여섯 연산 형식체계와 호환됨을 보인다.

제안 방법

• 함수적이고 에테일 수축, B1-불변성을 확보하기 위해 리지드 애날리틱 모티브의 여섯 연산 형식체계를 사용한다.
• 모티빅 연속성과 명시적 리지드 호모토피를 적용하여 타이트 대수와 퍼펙트로이드 체로 축소한다.
• Fargues-Fontaine 곡선에서 프로베누스 접합 자료를 사용하여 RigDA(P)에서 RigDA(X(P))로 가는 모노이드 함수 D를 구성한다.
• de Rham-Fargues-Fontaine 코homology를 dRFF_P = dRX(P) ∘ D로 정의하며, X(P) 위의 고체 준가환층 복합체에 값이 있다.
• 고체 준가환층 복합체의 형식체계와 QCoh(S)에서 이중가능한 대상의 특성화를 활용하여 유한성을 증명한다.
• 모티빅 기울임 등가 RigDA(C) ≅ RigDA(C♯)를 사용하여 퍼펙트로이드 체와 그의 언틸트 사이의 코homology를 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특성 0의 애달릭 공간 위의 리지드 애날리틱 기하구조에 대해 함수적이고 B1-불변성을 갖는 상대적 과수렴 de Rham 코homology 이론을 정의할 수 있는가?
• RQ2 어떻게 퍼펙트로이드 공간 P에서 상대 Fargues-Fontaine 곡선 X(P)로 모티빅 코homology를 확장할 수 있는가?
• RQ3 모티빅 풀백과 de Rham 코homology의 복합체가 매끄럽고 완전한 기하구조 위에서 완전한 복합체이자 벡터 번들의 코homology층을 가지는가?
• RQ4 좋은 감소의 경우에 이 결과 코homology 이론이 리지드 코hom로지와 크리스탈린 코호몰로지와 호환되는가?
• RQ5 모티빅 및 호모토피 방법을 사용하여 Fargues-Fontaine 곡선 위에서 코호몰로지의 유한성에 대한 Scholze의 추측을 증명할 수 있는가?

주요 결과

• M이 P 위의 매끄럽고 완전한 기하구조의 모티브일 경우, de Rham-Fargues-Fontaine 코호몰로지 dRFF_P(M)는 O_X(P)-모듈러스의 완전한 복합체이며, 그 코호몰로지층은 벡터 번들이다.
• P가 퍼펙트로이드 체일 경우, 임의의 컴act 모티브 M에 대해 dRFF_P(M)는 완전한 복합체이며, 그 코호몰로지층은 벡터 번들이다.
• 이 구성은 에테일 수축, B1-불변성, K"unneth 공식을 만족하여 그 모티빅 성격을 확인한다.
• 모든 언틸트 P♯에 대해, P♯ → X(P)를 따라 dRFF_P(M)를 풀백하면, M♯의 과수렴 de Rham 코호몰로지와 동형이다.
• 함수 RigFF_A는 EA ∘ RΓrig_A의 복합체를 통해 리지드 코호몰로지와 자연동형이며, 이는 이 구성이 퍼펙트로이드 애피노이드에 대한 극한에서 리지드 코호몰로지를 실현함을 보여준다.
• 이 이론은 X(Spa(A))가 공간으로 존재하지 않을 경우에도, 완전한 Fp-대수 A에 대해 Spa(A) 위에서 리지드 코호몰로지의 전역적 기하적 실현을 제공한다.