[논문 리뷰] The differential topology of loop spaces

Andrew Stacey|ArXiv.org|2005. 10. 05.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 7인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 유한차원 다양체 위의 매끄러운 루프 공간의 미분위상수학을 수립하며, 위상벡터공간에서의 무한차원 해석학을 사용하여 루프 공간에 매끄러운 다양체 구조를 구축한다. 접선다양체, 벡터다양체, 접속의 루프 공간이 매끄러운 구조를 상속함을 보이며, 튜브근처 이웃, 극화와 같은 핵심 도구를 도입하고, 반무한 기하학과 루프군 표현에의 응용을 제시한다.

ABSTRACT

This is an introduction to the subject of the differential topology of the space of smooth loops in a finite dimensional manifold. It began as the background notes to a series of seminars given at NTNU and subsequently at Sheffield. I am posting them in the hope that they will be useful to people wishing to know a little about the basics of the subject. I have tried to make them readable by anyone with a good grounding in finite dimensional differential topology. Any comments and suggestions for improvement will be very welcome. The topics covered are: the smooth structure of the space of smooth loops; constructions involving vector bundles; submanifolds and tubular neighbourhoods; and a short introduction to the geometry and semi-infinite structure of loop spaces.

연구 동기 및 목표

• 표준적인 유한차원 미분위상수학과 무한차원 해석학의 기술적 깊이 사이의 격차를 메우기 위해, 매끄러운 루프 공간의 미분위상수학에 대해 자립적이고 접근 가능한 소개를 제공하는 것.
• 유한차원 다항다양체 위의 매끄러운 루프 공간이 바나흐 공간에 기반하지 않는 한, 잘 정의된 매끄러운 다양체 구조를 가짐을 입증하는 것.
• 벡터다양체, 접속, 주다양체 등 유한차원 다항다양체에서의 구조를 루프 공간 설정으로 확장하여, 그것들이 일관되게 '루프화'됨을 보이는 것.
• 기본점 고정 루프와 원주 작용에 의한 고정점 부분다양체와 같은 루프 공간의 부분다양체를 조사하고, 이러한 부분다양체에 대한 튜브근처 이웃의 존재를 증명하는 것.
• 반무한 기하학의 개념을 도입하여, 루프된 공간을 양의 주파수 성분과 음의 주파수 성분으로 분해하고, $ L_+E $와 $ L_-E $는 잘 정의되지 않지만 그 반무한 외적곱은 잘 정의됨을 보여주는 것.

제안 방법

• KM97에서 제시한 임의의 위상벡터공간에 기반한 다양체 이론을 활용하여, 바나흐 공간 프레임워크에 의존하지 않고 매끄러운 루프 공간에 매끄러운 구조를 정의하는 것.
• 지수함수와 임펄스 공간을 기반으로 한 국소 차트를 사용하여 루프 공간에 명시적인 아틀라스를 구성하고, 프레셰 공간에서의 미적분학을 통해 전환 함수가 매끄럽음을 증명하는 것.
• 접선다양체의 루프 공간 $ L(TM) $이 루프 공간의 접선다양체 $ T(LM) $와 자연스럽게 미분동형임을 보이며, $ TLM $에 자연스러운 매끄러운 구조를 확립하는 것.
• 벡터다양체, 프레임다양체, 접속에 대한 루핑 구조를 적용하여, 이러한 구조들이 루프 공간 수준에서 일관되게 올라감을 보이는 것.
• 지점 제약 조건을 만족하는 부분다양체(예: 기본점을 고정하는 루프)를 분석하고, 이러한 부분다양체가 튜브근처 이웃을 가짐을 증명하여, 기본 피브레이션 $ \nabla M \to LM \to M $의 국소적 평탄성을 유도하는 것.
• 루프된 공간을 양의 주파수 성분과 음의 주파수 성분으로 분해함으로써 극화의 개념을 도입하고, $ L_+E $와 $ L_-E $는 잘 정의되지 않지만 그 반무한 외적곱은 잘 정의됨을 보이는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한차원 다항다양체 위의 매끄러운 루프 공간은 바나흐 공간 외부의 프레임워크에서도 일관된 매끄러운 다양체 구조를 지닐 수 있는가?
• RQ2 벡터다양체, 접속, 주다양체와 같은 표준 기하학적 대상들은 루핑 구조에서 어떻게 행동하는가?
• RQ3 기본 루프나 원주 작용에 의한 고정점 부분다양체와 같은 루프 공간의 부분다양체가 튜브근처 이웃을 가질 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ4 극화는 루프 공간의 반무한 기하학에서 어떤 역할을 하는가? 그리고 루프군 표현과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 코접선다양체의 루프 공간은 루프 공간의 코접선다양체와 동일시될 수 있는가? 만약 그렇지 않다면, 루핑 작용이 여기서 왜 실패하는가?

주요 결과

• 유한차원 다항다양체 $ M $ 위의 매끄러운 루프 공간 $ LM $ 는 $ \mathbb{R}^n $ 위의 매끄러운 루프 공간인 프레셰 공간에 기반한 잘 정의된 매끄러운 다양체 구조를 가지며, 전환 함수는 매끄럽다.
• 접선다양체의 루프 공간 $ L(TM) $ 은 루프 공간의 접선다양체 $ T(LM) $ 와 자연스럽게 미분동형이며, 매끄러운 구조를 유지한다.
• 다양체 $ M $ 위의 벡터다양체, 프레임다양체, 접속은 루프 공간 $ LM $ 에서 해당하는 대응 대상을 유도하며, 접속의 루프는 루프된 다층에 대한 접속으로 올라간다.
• 코접선다양체의 루프 공간 $ L(T^*M) $ 은 루프 공간의 코접선다양체 $ T^*(LM) $ 와 미분동형이 아니며, 이는 루핑 구조가 코접선다양체에 대해 실패함을 보여준다.
• 기본 루프 공간 $ \Omega M $ 과 원주 작용에 의한 고정점 부분다양체는 튜브근처 이웃을 가지며, 이는 기본 피브레이션 $ \Omega M \to LM \to M $ 가 국소적으로 평탄함을 의미한다.
• 반무한 외적곱 $ \Lambda^{\bullet + \infty/2}(LE)^* \cong \Lambda^\bullet(L_+E)^* \widetilde{\otimes} \Lambda^\bullet L_-E $ 는 잘 정의되고, 극화의 변화에 대해 불변하며, 루프 공간 위의 반무한 코homology와 지수이론의 기초를 제공한다.