[논문 리뷰] The Dirichlet Problem of Fully Nonlinear Equations on Hermitian Manifolds

Ke Feng, Huabin Ge외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 07.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 65인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 허미션다이안 맨이드라에서 완전 비선형 타원형 방정식에 대한 $C^2$ 사전 추정을, 적합한 하위해와 기울기 유계 조건을 포함하는 조건 하에, 경계 조건이 Dirichlet 조건인 경우에 설정한다. 기울기 추정과 Evans-Krylov 이론을 이용하여, 컴acts 허미션다이안 맨이드라에서 허미션 비율 및 $(m-1,m-1)$-허미션 비율 방정식의 딜리클레 문제의 해 존재성을 증명하며, 이를 복소수 비카일러 설정으로까지 확장한다.

ABSTRACT

We study the Dirichlet problem of a class of fully nonlinear elliptic equations on Hermitian manifolds and derive a priori $C^2$ estimates which depend on the initial data on manifolds, the admissible subsolutions and the upper bound of the gradients of the solutions. In some special cases, we obtain the gradient estimates, and hence we can solve the corresponding Dirichlet problem with admissible subsolutions. We also study the Hessian quotient equations and $(m-1,m-1)$-Hessian quotient equations on compact Hermitian manifolds without boundary.

연구 동기 및 목표

• 부드러운 경계를 가진 컴팩트 허미션다이안 맨이드라에서 완전 비선형 타원형 방정식에 대한 사전 $C^2$ 추정을 설정하는 것.
• 적합한 하위해와 유계 기울기를 포함하는 조건 하에서 딜리클레 문제의 해 존재성을 증명하는 것.
• 허미션 비율 및 $(m-1,m-1)$-허미션 비율 방정식에 대한 결과를 비카일러 허미션다이안 맨이드라로 확장하는 것.
• 허미션 스텝처처의 변환을 통해 복소수 비카일러 설정에서의 2차 추정 문제를 해결하는 것.

제안 방법

• 방정식을 $\tilde{f}(T(\lambda))$ 형태로 재구성하기 위해 $T: \lambda \mapsto \mu$ 변환을 도입하며, $\mu_i = \frac{1}{m-1}\sum_{k \neq i} \lambda_k$이다.
• 복소 허미션 항목을 제어하고 2차 추정을 가능하게 하기 위해 $W(\mathrm{d}u)$에 구조적 조건을 부과한다.
• $C^2$ 유계 조건을 확보한 후 Evans-Krylov 이론을 적용하여 $C^{2,\alpha}$ 추정을 유도한다.
• 폭발 분석과 컴팩턴스 추론을 사용하여 비상수 리프시츠 해의 존재를 배제함으로써 모순을 이끌어내고, 이로써 $C^2$ 추정을 확보한다.
• $C^{2,\alpha}$ 제어 후 샤투르 추정을 적용하여 모든 $k \geq 0$에 대해 균일한 $C^k$ 유계 조건을 확보한다.
• 대칭 콘 $\Gamma$ 및 $\tilde{\Gamma}$에서 $f$와 $\tilde{f}$의 볼록성, 1차 도함수의 양성 및 渐近 행동에 의존한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 카일러 조건을 가정하지 않고도 허미션다이안 맨이드라에서 완전 비선형 타원형 방정식에 대한 $C^2$ 추정을 확립할 수 있는가?
• RQ2 함수 $f$, $\chi$, 및 $W(\mathrm{d}u)$에 대해 어떤 조건이면 적합한 하위해 조건 하에서 딜리클레 문제를 해결할 수 있는가?
• RQ3 허미션 비율 및 $(m-1,m-1)$-허미션 비율 방정식은 경계가 없는 컴팩트 허미션다이안 맨이드라에서 해를 가지는가?
• RQ4 기존 실수 방법이 실패하는 경우, 복소수 비카일러 설정에서 기울기 추정을 도출할 수 있는가?
• RQ5 변환 $T(\lambda)_i = \frac{1}{m-1}\sum_{k \neq i} \lambda_k$는 추정을 가능하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 곡률에 무관하게 초기 자료, 적합한 하위해, 기울기 유계 조건에 대한 가정 하에 사전 $C^2$ 추정이 도출된다.
• 특수한 경우에서 기울기 추정을 확보함으로써, 적합한 하위해 조건 하에서 딜리클레 문제의 해 존재성이 보장된다.
• $C^2$ 유계 조건을 확보한 후 Evans-Krylov 이론을 적용하여 $C^{2,\alpha}$ 추정이 유도된다.
• $C^{2,\alpha}$ 제어 후 샤투르 이론을 통해 모든 $k \geq 0$에 대해 균일한 $C^k$ 추정이 유도된다.
• 경계가 없는 컴팩트 허미션다이안 맨이드라에서 허미션 비율 및 $(m-1,m-1)$-허미션 비율 방정식의 딜리클레 문제는 해를 갖는다.
• 비상수 리프시츠 해의 존재로부터 모순을 이끌어내어 $C^2$ 추정의 필연성을 확인하고 증명을 완료한다.