[논문 리뷰] The distribution of the variance of primes in arithmetic progressions

Daniel Fiorilli|arXiv (Cornell University)|2013. 01. 23.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 30인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 Hooley의 추측 $ V(x;q) \sim x\log q $ 가 $ q \geq (\log\log x)^{1+\delta} $ 일 때도 성립함을 제안하며, GRH와 선형 독립성 가정 하에 기존 범위를 확장한다. $ \phi(q)e^{-y}V(e^y;q) $ 를 확률적 모델로 다루어 이 분산이 평균 $ \phi(q)\log q $ 와 분산 $ 2\phi(q)(\log q)^2 $ 를 가지는 랜덤 변수처럼 행동함을 보이며, 이는 $ q = (\log\log x)^{1+\delta} $ 까지의 점근적 행동을 예측한다. 이 범위는 최적임을 입증한다.

ABSTRACT

Hooley conjectured that the variance V(x;q) of the distribution of primes up to x in the arithmetic progressions modulo q is asymptotically x log q, in some unspecified range of q\\leq x. On average over 1\\leq q \\leq Q, this conjecture is known unconditionally in the range x/(log x)^A \\leq Q \\leq x; this last range can be improved to x^{\\frac 12+\\epsilon} \\leq Q \\leq x under the Generalized Riemann Hypothesis (GRH). We argue that Hooley's conjecture should hold down to (loglog x)^{1+o(1)} \\leq q \\leq x for all values of q, and that this range is best possible. We show under GRH and a linear independence hypothesis on the zeros of Dirichlet L-functions that for moderate values of q, \\phi(q)e^{-y}V(e^y;q) has the same distribution as that of a certain random variable of mean asymptotically \\phi(q) log q and of variance asymptotically 2\\phi(q)(log q)^2. Our estimates on the large deviations of this random variable allow us to predict the range of validity of Hooley's Conjecture.

연구 동기 및 목표

• Hooley의 추측 $ V(x;q) \sim x\log q $ 가 성립하는 $ q $ 의 최적 범위를 규명하는 것.
• 기존의 조건부 및 무조건적 경계를 초월하여 $ V(x;q) $ 의 평균에 대한 점근적 결과를 더 작은 $ q $ 값까지 확장하는 것.
• 특히 $ q \leq x^{1/2} $ 범위에서 개별 $ q $ 에 대해 $ V(x;q) $ 의 분포를 조사하는 것.
• $ q \geq (\log\log x)^{1+\delta} $ 라는 추측된 하한선의 최적성에 대한 확률적 근거를 제공하는 것.
• 특히 $ q \sim \log\log x $ 근처에서 $ V(x;q) $ 의 행동 전이를 대규모 편차 추정을 통해 탐색하는 것.

제안 방법

• $ \phi(q)e^{-y}V(e^y;q) $ 를 Dirichlet L-함수의 영점에 대한 GRH와 선형 독립성 가정 하에서 랜덤 변수로 모델링하는 것.
• 벡터 $ (e^{i\gamma_1 y}, \dots, e^{i\gamma_k y}) $ 의 점근적 분포를 이용해 등분포를 분석하고 $ V(x;q) $ 의 분포를 도출하는 것.
• 정규화된 $ \phi(q)e^{-y}V(e^y;q) $ 의 랜덤 변수 $ H_q $ 에 대해 대규모 편차 추정을 적용하여 $ V(x;q) \sim x\log q $ 가 성립할 가능성이 있는 범위를 예측하는 것.
• $ H_q $ 의 점근적 평균 $ \phi(q)\log q $ 와 분산 $ 2\phi(q)(\log q)^2 $ 를 유도하여 정규분포 유사 분포로 수렴함을 보이는 것.
• $ H_q $ 의 꼬리 행동을 이용해 $ |e^{-y}V(e^y;q) - \log q| \neq o(\log q) $ 가 되는 최소한의 $ y $ 를 추정하고, 이로부터 $ y \approx \exp(c\phi(q)) $ 라는 예측을 도출하는 것.
• 기존 경계와 예측된 행동을 비교: 고정된 $ q $ 에 대해 $ V(x;q) \ll x(\log\log\log x)^4 $ 이며, 이는 $ q = (\log\log x)^{1+\delta} $ 근처에서 전이가 발생함을 시사한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Hooley의 추측 $ V(x;q) \sim x\log q $ 는 $ q \geq (\log\log x)^{1+\delta} $ 에까지 확장될 수 있으며, 이 범위는 최적일까?
• RQ2 GRH와 L-함수 영점의 선형 독립성 조건 하에서 $ \phi(q)e^{-y}V(e^y;q) $ 의 확률적 분포는 어떠한가?
• RQ3 랜덤 변수 $ H_q $ 의 대규모 편차는 $ V(x;q) \sim x\log q $ 의 유효 범위를 어떻게 밝혀내는가?
• RQ4 $ q $ 가 $ x^{o(1)} $ 에서 고정된 값으로 감소함에 따라 $ V(x;q) $ 의 크기에 어떤 전이가 발생하는가?
• RQ5 고정된 $ q $ 에 대해 알려진 상한 $ V(x;q) \ll x(\log\log\log x)^4 $ 는 $ q \geq (\log\log x)^{1+\delta} $ 범위에서의 점근적 결과 $ V(x;q) \sim x\log q $ 와 어떻게 조화될 수 있는가?

주요 결과

• GRH와 선형 독립성 가정 하에서 $ \phi(q)e^{-y}V(e^y;q) $ 는 점근적으로 평균 $ \phi(q)\log q $ 와 분산 $ 2\phi(q)(\log q)^2 $ 를 가지는 점근적 분포를 갖는다.
• $ H_q $ 의 최대 편차는 $ \epsilon \asymp 1 $ 일 때 발생하며, 이는 $ q \sim \log\log x $ 근처에서 $ V(x;q) $ 의 행동에 단서를 제공한다.
• $ q \geq (\log\log x)^{1+\delta} $ 는 $ V(x;q) \sim x\log q $ 가 성립할 수 있는 최적 범위로 예측되며, 이 범위 이외에서는 $ e^{-y}V(e^y;q) \sim \log q $ 가 성립하지 않기 때문이다.
• $ q \leq (\log\log x)^{1-\delta} $ 일 경우 점근적 결과 $ V(x;q) \sim x\log q $ 는 실패할 것으로 예상되며, 이는 날카로운 임계점임을 시사한다.
• 고정된 $ q $ 에 대해 $ e^{-y}V(e^y;q) $ 의 점근적 분포는 이중지수적으로 감소하는 꼬리 행동을 가지며, 이는 $ V(x;q) \ll x(\log\log\log x)^4 $ 라는 상한을 이끌어낸다.
• $ q \geq (\log\log x)^{1+\delta} $ 에서는 $ V(x;q) = x\mathcal{L}(q)\left(1 + O\left(\Psi(x)\sqrt{\frac{\log\log x}{\phi(q)}}\right)\right) $ 이 성립하며, 여기서 $ \mathcal{L}(q) = \log q - \gamma - \log(2\pi) - \sum_{p\mid q}\frac{\log p}{p-1} $ 이고, $ \Psi(x) \to \infty $ 이다.