[논문 리뷰] The edge Folkman number $F_e(3, 3; 4)$ is greater than 19

Aleksandar Bikov, Nedyalko Nenov|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 12.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 13인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 간 에드워드 폴크만 수 $F_e(3,3;4)$가 최소 20임을 증명하며, 이는 이전의 하한값 19를 향상시킨 것이다. 최대 $K_4$-자유 그래프를 체계적으로 분석하기 위한 컴퓨터 보조 알고리즘을 사용하여, 어떤 19정점 그래프도 폴크만 조건을 만족하지 못한다는 것을 확인함으로써 새로운 하한값을 확립하였다. 또한 정점 폴크만 수 $F_v(2,3,3;4)$의 범위를 좁혀, 20에서 24 사이에 있음을 보였다.

ABSTRACT

The set of the graphs which do not contain the complete graph on $q$ vertices $K_q$ and have the property that in every coloring of their edges in two colors there exist a monochromatic triangle is denoted by $\mathcal{H}_e(3, 3; q)$. The edge Folkman numbers $F_e(3, 3; q) = \min\{|V(G)| : G \in \mathcal{H}_e(3, 3; q)\}$ are considered. Folkman proved in 1970 that $F_e(3, 3; q)$ exists if and only if $q \geq 4$. From the Ramsey number $R(3, 3) = 6$ it becomes clear that $F_e(3, 3; q) = 6$ if $q \geq 7$. It is also known that $F_e(3, 3; 6) = 8$ and $F_e(3, 3; 5) = 15$. The upper bounds on the number $F_e(3, 3; 4)$ which follow from the construction of Folkman and from the constructions of some other authors are not good. In 1975 Erdos posed the problem to prove the inequality $F_e(3, 3; 4) < 10^{10}$. This Erdos problem was solved by Spencer in 1978. The last upper bound on $F_e(3, 3; 4)$ was obtained in 2012 by Lange, Radziszowski and Xu, who proved that $F_e(3, 3; 4) \leq 786$. The best lower bound on this number is 19 and was obtained 10 years ago by Radziszowski and Xu. In this paper, we improve this result by proving $F_e(3, 3; 4) \geq 20$. At the end of the paper, we improve the known bounds on the vertex Folkman number $F_v(2, 3, 3; 4)$ by proving $20 \leq F_v(2, 3, 3; 4) \leq 24$.

연구 동기 및 목표

• 간 폴크만 수 $F_e(3,3;4)$의 하한값을 향상시키는 것. 이는 $K_4$를 포함하지 않으며, 모든 2간 색칠이 단색 삼각형을 포함하는 그래프의 정점 수의 최솟값이다.
• 클리크 수가 유계인 이러한 그래프의 존재성과 최소성에 관한 램지 이론의 열린 문제를 해결하는 것.
• 정점 폴크만 수 $F_v(2,3,3;4)$로의 분석을 확장하여 기존의 알려진 범위를 더욱 정밀하게 조정하는 것.

제안 방법

• 15정점에서 $K_4$-자유이면서 독립수의 최댓값이 5인 모든 최대 그래프를 생성하고 분석하기 위한 컴퓨터 알고리즘(알고리즘 2.4)을 개발하였다.
• 모든 그래프가 $\mathcal{H}_e(3,3;4)$에 속하려면 색칠 수가 최소 6 이상이어야 한다는 성질을 이용하여 후보 그래프의 범위를 제한하였다.
• 모든 2,081,234개의 그래프를 포함하는 $\mathcal{L}(15;1)$에 대해 체계적인 검색을 수행하였으며, $\mathcal{H}_v(3,3;4;15)$에 속하지 않는 그래프를 식별하고, $F_e(3,3;4)$ 위반 구성요소를 검증하기 위해 사용하였다.
• 제안사항 4.2와 4.3을 적용하여 잠재적인 최소 그래프의 구조를 제약하였으며, 특히 정점 제거와 유도 부분그래프를 분석하였다.
• 알고리즘 2.4의 단계 4 이후에 생성된 $\mathcal{B}$에 속한 모든 후보를 검토하여, 19정점 그래프 중 어떤 것도 폴크만 조건을 만족하지 못한다는 것을 검증하였다.
• 정점 전이성 그래프를 31정점 이하로 검색하여 $\mathcal{H}_v(2,3,3;4)$에 속하는 그래프를 식별하였으며, 이로 인해 상한값 24를 확보하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정점 수가 19인 그래프 중 $K_4$를 포함하지 않으며, 모든 2간 색칠이 단색 삼각형을 포함하는 그래프가 존재하는가?
• RQ2 계산적 순열을 사용하여 $F_e(3,3;4)$의 하한값을 19를 초월해 향상시킬 수 있는가?
• RQ3 정점 폴크만 수 $F_v(2,3,3;4)$에 대해 알려진 가장 날카로운 상한과 하한은 무엇인가?
• RQ4 19정점에서 $K_4$-자유이면서 간 색칠에 대한 폴크만 성질을 만족하는 최대 그래프가 존재하는가?
• RQ5 최대 $K_4$-자유 그래프의 구조를 활용하여 더 작은 폴크만 그래프의 존재하지 않음을 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 간 폴크만 수 $F_e(3,3;4)$는 최소 20이며, 이는 이전의 하한값 19를 향상시킨 것이다.
• 알고리즘 2.4를 사용한 체계적 검색을 통해 $\mathcal{H}_e(3,3;4)$에 속하는 19정점 그래프가 존재하지 않음을 확인하였다.
• 정점 폴크만 수 $F_v(2,3,3;4)$는 $20 \leq F_v(2,3,3;4) \leq 24$를 만족하며, 이는 이전의 범위 $19 \leq F_v(2,3,3;4) \leq 30$을 향상시킨 것이다.
• 24정점의 정점 전이성 그래프를 발견하였으며, 이는 $\mathcal{H}_v(2,3,3;4)$에 속하고, 어떤 진부분그래프도 조건을 만족하지 않기 때문에 최소성의 의미에서 최소임을 입증하였다.
• 알고리즘은 15정점에서 독립수의 최댓값이 5인 모든 최대 $K_4$-자유 그래프 총 2,081,234개를 성공적으로 식별하였으며, $\mathcal{L}(15;1) \setminus \mathcal{H}_v(3,3;5;15)$에 속하는 20개의 특수 그래프 중 어느 것도 폴크만 조건을 만족하지 않음을 검증하였다.
• 검색 결과 $\mathcal{H}_v(3,3;4;14) = \mathcal{L}(14;1)$임을 확인하였지만, $\mathcal{H}_v(3,3;4;15) \neq \mathcal{L}(15;1)$임을 확인하여 그래프 공간 내의 구조적 차이를 드러내었다.