[논문 리뷰] The Energy-Momentum Tensor in General Relativity and in Alternative Theories of Gravitation, and the Gravitational vs. Inertial Mass

Hans C. Ohanian|arXiv (Cornell University)|2010. 10. 27.

Cosmology and Gravitation Theories참고 문헌 15인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 라그랑주 미분방정식 이론에서의 캐논컬 에너지-모멘텀 텐서와 아인슈타인 방정식의 소스 텐서 사이의 일반적인 관계를 수립하며, 비최소 결합의 차이가 있음에도 불구하고, 제2차 도함수 항이 포함된 시스템이라도 중력질량과 관성질량이 정확히 동일하다는 것을 보여준다. 브란스-딕 테오리에서 비최소 결합으로 인한 중력질량과 관성질량 간의 부등식에 대한 정확한 공식을 유도하며, 보정된 비례 계수를 가진 노르트베드트 효과 유사 현상을 확인한다.

ABSTRACT

We establish a general relation between the canonical energy-momentum tensor of Lagrangian dynamics and the tensor that acts as the source of the gravitational field in Einstein's equations, and we show that there is a discrepancy between these tensors when there are direct nonminimal couplings between matter and the Riemann tensor. Despite this discrepancy, we give a general proof of the exact equality of the gravitational and inertial masses for any arbitrary system of matter and gravitational fields, even in the presence of nonminimal second-derivative couplings and-or linear or nonlinear second-derivative terms of any kind in the Lagrangian. The gravitational mass is defined by the asymptotic Newtonian potential at large distance from the system, and the inertial mass is defined by the volume integral of the energy density determined from the canonical energy-momentum tensor. In the Brans-Dicke scalar field theory, we establish that the nonminimal coupling and long range of the scalar field leads to an inequality between the gravitational and inertial masses, and we derive an exact formula for this inequality and confirm that it is approximately proportional to the gravitational self-energy (the Nordvedt effect), but with a constant of proportionality different from what is claimed in the published literature in calculations based on the PPN scheme. Similar inequalities of gravitational and inertial masses are expected to occur in other scalar and vector theories.

연구 동기 및 목표

• 일반상대성 이론과 비최소 결합이 있는 대체 이론에서 캐논컬 에너지-모멘텀 텐서와 중력 소스 텐서 사이의 관계를 명확히 하기.
• 비최소 결합과 고차 도함수 항이 존재하는 상황에서 중력질량과 관성질량의 등가성에 대한 오랫동안 남아있던 애매함을 해결하기.
• 브란스-딕 이론과 같은 스칼라-텐서 이론에서 중력질량과 관성질량 간의 부등식에 대한 정확한 표현을 유도하기.
• PPN 기반의 이전 추정치를 넘어서, 질량 부등식에 대한 정확하고 비퍼티어티적 공식을 제공함으로써 노르트베드트 효과의 추정치를 보정하기.

제안 방법

• 디피오모르피즘 불변성에 기반한 노이터 정리로 라그랑주로부터 캐논컬 에너지-모멘텀 텐서를 유도한다.
• 아인슈타인 방정식의 소스 텐서가 작용의 계량에 대한 변분도함수임을 확인한다.
• 장의 제2차 도함수를 포함하는 임의의 비선형 조합을 포함한 라그랑주언어를 분석한다. 이는 리만 텐서에 대한 비최소 결합도 포함된다.
• 브란스-딕 이론에 이 형식을 적용하여, 점근적 뉴턴 포텐셜로부터 중력질량을 계산하고, 캐논컬 에너지 밀도의 체적 적분으로부터 관성질량을 계산한다.
• 퍼티어티적 근사 없이 정확한 장 방정식을 사용하여 중력질량과 관성질량을 비교한다.
• 스칼라-텐서 이론에서 질량 부등식에 대한 폐쇄형 표현을 유도하며, 그 비례 상수가 보정된 계수를 가진 중력 자기에너지에 비례함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반상대성 이론과 비최소 결합이 있는 대체 이론에서 캐논컬 에너지-모멘텀 텐서와 중력 소스 텐서 사이의 관계는 어떻게 되는가?
• RQ2 고차 도함수나 비최소 결합이 있는 장 이론에서 중력질량이 관성질량과 다를 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ3 브란스-딕 이론에서 노르트베드트 효과와 중력 자기에너지 사이의 정확한 관계는 무엇이며, PPN 기반 추정치와 어떻게 다를까?
• RQ4 라그랑주에 임의의 제2차 도함수 항이 존재하는 상황에서 중력질량과 관성질량의 등가성이 엄밀하게 증명될 수 있는가?
• RQ5 스칼라-텐서 이론에서 질량 부등식과 중력 자기에너지 사이의 정확한 비례 계수는 무엇인가?

주요 결과

• 물질과 리만 텐서 사이에 직접적인 비최소 결합이 존재할 경우, 캐논컬 에너지-모멘텀 텐서와 아인슈타인 방정식의 소스 텐서는 다를 수 있다.
• 이러한 차이가 있음에도 불구하고, 임의의 물질 및 중력장 시스템에 대해 중력질량과 관성질량은 제2차 도함수 항이 포함된 라그랑주언어에서도 정확히 동일하다.
• 브란스-딕 이론에서 비최소 결합과 장거리 스칼라 장은 중력질량과 관성질량 사이의 엄격한 부등식을 초래한다.
• 논문은 이러한 부등식에 대한 정확한 공식을 유도하며, 이는 중력 자기에너지에 비례하지만, 이전 PPN 기반 계산과는 다른 비례 계수를 가짐을 보여준다.
• 노르트베드트 효과 계수의 보정은 명시적으로 계산되었으며, 비자명한 것으로 나타나 이전의 근사치가 잘못되었음을 입증한다.
• 결과는 다른 스칼라 및 벡터 이론으로 일반화되며, 이러한 질량 부등식은 비최소 결합 이론에서 일반적인 성질임을 시사한다.