[논문 리뷰] The Exact SL(K+3,C) Symmetry of String Scattering Amplitudes

Sheng-Hong Lai, Jen-Chi Lee외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 01.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 3인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 3개의 타키온과 하나의 임의의 끈 상태를 포함하는 26차원 개방 보소닉 끈 산란 진폭(SSA)이 정확히 D형 Laurantella 함수를 통해 표현 가능하며, 이는 기본적으로 정확한 $SL(K+3,\mathbb{C})$ 대칭성을 드러낸다. 이 대칭성은 이전에 알려진 관계들을 통합하고 재유도한다—고에너지 근사에서의 선형 관계, Regge 근사에서의 재귀 관계, 비상대론적 근사에서의 확장된 재귀 관계이며, 동시에 모든 에너지에서 유효한 에너지에 독립적인 새로운 재귀 관계를 가능하게 한다.

ABSTRACT

We discover that the 26D open bosonic string scattering amplitudes (SSA) of three tachyons and one arbitrary string state can be expressed in terms of the D-type Lauricella functions with associated SL(K+3,C) symmetry. As a result, SSA and symmetries or relations among SSA of different string states at various limits calculated previously can be rederived. These include the linear relations conjectured by Gross [1-3] and proved in [4-9] in the hard scattering limit, the recurrence relations in the Regge scattering limit [14-16] and the extended recurrence relations in the nonrelativistic scattering limit [19] discovered recently. Finally, as an application, we calculate a new recurrence relation of SSA which is valid for all energies.

연구 동기 및 목표

• 26차원 개방 보소닉 끈 이론에서 3개의 타키온과 하나의 임의의 끈 상태를 포함하는 끈 산란 진폭(SSA)의 근본적인 시공간 대칭성을 밝혀내는 것.
• 이전에 관측된 다양한 산란 근사 조건—고에너지, Regge, 비상대론적—에서의 선형 및 재귀 관계들을 하나의 수학적 프레임워크로 통합하는 것.
• 이러한 관계들이 D형 Laurantella 함수의 $SL(K+3,\mathbb{C})$ 대칭성에서 자연스럽게 유도됨을 보여주는 것.
• Laurantella 함수의 대칭성 구조를 이용하여 모든 에너지에서 유효한 새로운 재귀 관계를 도출하는 것.

제안 방법

• 3개의 타키온과 하나의 임의의 끈 상태를 포함하는 4점 진폭을 끈 상태의 질량 수준과 관련된 $K$에 대해 D형 Laurantella 함수 $F_D^{(K)}$로 표현한다.
• 관련된 리 군 대칭성을 $SL(K+3,\mathbb{C})$로 식별하며, 이는 각각 Regge 근사와 비상대론적 근사에서 이전에 알려진 $SL(5,\mathbb{C})$ 및 $SL(4,\mathbb{C})$ 대칭성을 일반화한다.
• Laurantella 함수의 재귀 관계를 활용하여 모든 에너지 영역에서 유효한 새로운 SSA 재귀 관계를 도출한다.
• Laurantella 함수의 재귀 관계인 $cF_D^{(K)}(b_j;c) + c(x_j-1)F_D^{(K)}(b_j+1;c) + (a-c)x_jF_D^{(K)}(b_j+1;c+1) = 0$을 적용하여 에너지에 의존하지 않는 SSA 관계를 유도한다.
• 기존 결과와의 일관성 검증: 고에너지 근사에서의 선형 관계, Regge 근사에서의 재귀 관계, 비상대론적 근사에서의 확장된 재귀 관계.
• 고에너지 근사 유도 과정에서 이전에 Regge SSA에 사용된 방법을 확장한 일반화된 Stirling 수 항등식을 제안한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 알려진 끈 산란 진폭에서의 선형 및 재귀 관계들이 하나의 대칭적 구조 아래 통합될 수 있는가?
• RQ2 모든 에너지에서 유효한 26차원 개방 보소닉 끈 진폭에서 3개의 타키온과 하나의 임의의 끈 상태를 포함하는 정확한 시공간 대칭성은 무엇인가?
• RQ3 기존의 산란 근사 조건—고에너지, Regge, 비상대론적—은 더 일반적인 대칭성의 특수한 경우로 어떻게 유도되는가?
• RQ4 특정 점점적 근사 조건에서만 유효한 것이 아니라 모든 에너지에서 유효한 새로운 SSA 재귀 관계를 도출할 수 있는가?
• RQ5 D형 Laurantella 함수는 끈 이론의 전체 대칭성 구조를 어떻게 코딩하는가?

주요 결과

• 26차원 개방 보소닉 끈 산란 진폭에서 3개의 타키온과 하나의 임의의 끈 상태는 정확히 D형 Laurantella 함수 $F_D^{(K)}$로 표현 가능하다.
• 이 진폭은 $K$가 끈 상태의 전체 운동자 진동자 흥분 수일 때 정확한 $SL(K+3,\mathbb{C})$ 대칭성을 갖는다.
• $SL(K+3,\mathbb{C})$ 대칭성은 이전에 알려진 모든 관계들을 통합하고 재유도한다—고에너지 산란 근사에서의 선형 관계, Regge 근사에서의 재귀 관계, 비상대론적 근사에서의 확장된 재귀 관계.
• 비상대론적 근사에서는 Laurantella 함수가 가우스 제타함수 ${}_2F_1$로 감소하며, 이는 LLY에서 이전에 발견된 $SL(4,\mathbb{C})$ 대칭성을 복원한다.
• Regge 근사에서는 Laurantella 함수가 Appell 함수 $F_1$로 감소하며, 이는 KLY와 LY에서 이전에 규명된 $SL(5,\mathbb{C})$ 대칭성을 복원한다.
• Laurantella 함수 $F_D^{(K)}$의 재귀 성질에 기반하여 모든 에너지에서 유효한 새로운 SSA 재귀 관계가 도출되었으며, 특히 $(\frac{u}{2}+2-N)A_{st}^{(r)} - (\frac{s}{2}+1)k_3^T A_{st}^{(r')} = 0$ 이다.