[논문 리뷰] The Free Fermion Anomaly and Representations of the Pin Groups

Yakov Landau|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 13.

Topological Materials and Phenomena참고 문헌 17인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 반정수 자속을 가진 고리 위의 자유 복소 페르미온과 보존 사이의 이중성을 확립하며, 둘 다 Pin±(2) 군에 연결된 이산 이상 현상( anomaly )을 보임을 보여준다. 주요 기여는 시간 역전 대칭과 전하 쌍대성의 교환 관계인 TCT = ±C를 사용하여 Pin₊(2n)과 Pin₋(2n)의 기저 표현을 구분하는 새로운 방법을 제시한 것이다. 이는 C² = ±1과 관련되어 있으며, 이상 현상의 유형을 결정한다.

ABSTRACT

We consider a duality between a boson on a ring and a free fermion and show that they have an anomaly which corresponds to the states transforming under double covers of O(2). There are two (in general not isometric) double covers of O(2), known as Pin$_+(2)$ and Pin$_-(2)$. These can in general be distinguished at the group level by checking whether reflections square to $\pm 1$. We show that in irreducible representations in complex Hilbert spaces the commutation of time reversal and charge conjugation gives another method for distinguishing Pin$_+(2)$ and Pin$_-(2)$. While we only demonstrate the duality for a single fermion, the anomaly is also present in any number of free fermions. For an even number of fermions we show that the two double covers of O(2n) are isomorphic. For an odd number of fermions we show that the distinction between irreducible representations of Pin$_+$ and Pin$_-$ can still be detected by the commutation of time reversal and charge conjugation namely Pin$_\pm(2n)$ will have $TCT = \pm C$.

연구 동기 및 목표

• 자유 페르미온 이상 현상의 맥락에서 Pin₊(2)와 Pin₋(2)의 구조를 식별하는 데 발생하는 애매함을 해결하기 위해.
• 특히 홀수와 짝수 개의 페르미온인 다수의 자유 페르미온 시스템으로 이상 현상 분류를 확장하기 위해.
• 시간 역전 대칭과 전하 쌍대성 대칭을 사용하여 Pin₊(2n)과 Pin₋(2n)의 기저 표현을 구분하는 방법을 수립하기 위해.
• 페르미온 및 보존 이중성 표현에서 동일한 이상 현상이 나타남을 확인하기 위해.

제안 방법

• 반정수 자기장 자속이 있는 고리 위의 자유 복소 페르미온과 보존 사이의 이중성을 수립하며, 동일한 기저 상태와 대칭성을 보임을 보여줌.
• O(2)의 두 중복 덮개인 Pin₊(2)와 Pin₋(2)를 정의하며, 반사 연산이 +1 또는 -1의 제곱을 갖는지에 따라 이를 구분함.
• 시간 역전 대칭 T와 전하 쌍대성 C 사이의 교환 관계 TCT = ±C를 사용하여 Pin₊(2n)과 Pin₋(2n)의 기저 표현을 구분함.
• ℂ(2ⁿ)에서 γ 행렬을 사용하여 명시적인 클리포드 대수 표현을 구성하고, 시간 역전을 T = θσ_y⊗⋯⊗σ_y로 정의하며 T² = (-1)ⁿ임을 확인함.
• M과 P를 특정 색인에 대한 γ 행렬의 곱으로 정의한 반선형 연산자 J₊ = TM와 J₋ = TP를 도입하여 표현이 실수인지 허수부인지 판별함.
• J₊는 Pin₊(2n)에서만 등변함수이며, J₋는 Pin₋(2n)에서만 등변함수임을 보이며, J²를 계산하여 n mod 4 기반으로 실수 또는 허수부 표현의 구조를 결정함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 군 수준의 관계를 넘어서서 Pin₊(2)와 Pin₋(2)의 구조를 어떻게 식별할 수 있는가?
• RQ2 시간 역전 대칭과 전하 쌍대성 대칭은 Pin₊(2n)과 Pin₋(2n)의 기저 표현을 어떻게 식별하는가?
• RQ3 다수의 자유 페르미온 시스템에서 이상 현상은 TCT = ±C를 통해 여전히 탐지 가능한가? 그리고 페르미온 수에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ4 동일한 이산 이상 현상이 페르미온 및 보존 이중 이론 양쪽 모두에서 일관되게 실현될 수 있는가?
• RQ5 표현의 실수 또는 허수부 성질은 Pin±(2n)의 이상 현상 유형과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 자유 페르미온과 고리 위의 보존 시스템에서의 이상 현상은 C² = 1 또는 C² = -1 여부에 따라 Pin₊(2) 또는 Pin₋(2) 구조로 분류됨.
• n이 홀수일 경우, Pin₊(2n)의 기저 표현은 TCT = C로, Pin₋(2n)의 기저 표현은 TCT = -C로 구분됨.
• n ≡ 1 mod 4이면 Pin₊(2n)은 허수부이고 Pin₋(2n)은 실수 표현이며, n ≡ 3 mod 4이면 이 역할이 바뀌며, J₊²와 J₋²를 통해 결정됨.
• 자유 페르미온과 고리 위의 보존 사이의 이중성은 이상 현상을 유지하며, 이는 양 이론이 동일한 이산 대칭 이상 현상을 공유함을 확인함.
• 짝수 개의 페르미온일 경우, Pin₊(2n)과 Pin₋(2n)는 서로 동형이지만, TCT = ±C를 통한 표현 이론적 구분이 유지됨.
• TCT = ±C를 사용한 Pin±(2n) 표현의 구분 방법은 군 수준 정의보다 더 강력한 대안을 제공하며, 특히 기저 복소 표현에서 유용함.