[논문 리뷰] The genealogy of nearly critical branching processes in varying environment

Florin Boenkost, Félix Foutel‐Rodier외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 07. 23.

Stochastic processes and statistical mechanics인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 변동 환경에서의 거의 임계 분열 과정의 스케일링된 크기에 대해 조건부 생존 하에서 Yaglom 한계 법칙을 수립하고, 유전적 계통적 구조가 Gromov–Hausdorff–Prohorov 위상에서 시간에 따라 변화하는 브라운 운동 공통 조상 점과정으로 수렴함을 증명한다. 이 접근법은 두 번째 모멘트 조건 하에서 새로운 다수에서 소수 공식과 척추 분해를 사용하여, 인구 크기, 가장 최근 공통 조상까지의 시간, 축소된 나무와 같은 핵심 유전적 양상의 수렴을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Building on the spinal decomposition technique in Foutel-Rodier and Schertzer (2022) we prove a Yaglom limit law for the rescaled size of a nearly critical branching process in varying environment conditional on survival. In addition, our spinal approach allows us toprove convergence of the genealogical structure of the population at a fixed time horizon -- when the sequence of trees are envisioned as a sequence of metric spaces -- in the Gromov--Hausdorff--Prohorov (GHP) topology. We characterize the limiting metric space as a time-changed version of the Brownian coalescent point process Popovic (2004). Beyond our specific model, we derive several general results allowing one to go from spinal decompositions to convergence of random trees in the GHP topology. As a direct application, we show how this type of convergence naturally condenses the limit of several interesting genealogical quantities: the population size, the time to the most-recent common ancestor, the reduced tree, and the tree generated by $k$ uniformly sampled individuals. As in a recent article by the authors (Foutel-Rodier and Schertzer 2022), we hope that our specific example illustrates a general methodology that could be applied to more complex branching processes.

연구 동기 및 목표

• 변동 환경에서의 거의 임계 분열 과정의 스케일링된 인구 크기에 대해 장기적 생존 조건 하에서 Yaglom 유형의 한계 법칙을 수립하기.
• 유전적 계통적 구조—무작위 거리 측정 공간으로서 간주할 때—Gromov–Hausdorff–Prohorov 위상에서 수렴함을 증명하기.
• 임계점 근처의 분열 과정에서 무작위 거리 측정 공간을 분석하기 위한 일반적 도구를 개발하기, 특히 척추 분해와 모멘트 방법을 통해.
• 다양한 유전적 양상(예: 인구 크기, MRCA까지의 시간, 축소된 나무, k-표본 나무)의 수렴을 하나의 위상적 프레임워크로 통합하기.
• 두 번째 모멘트 조건 하에서 척추 분해 방법의 강건성을 입증하고, 전통적인 모든 모멘트 존재 가정을 초월하여 확장하기.

제안 방법

• 유전적 계통적 구조 분석을 가능하게 하기 위해 확률 측도를 재가중하기 위해 척추 분해를 사용하며, 이는 k개의 균일하게 추출된 개인의 공동 분포를 포착하는 k-척추 나무를 통해 이루어진다.
• 측도 변화 하에서 k-척추 나무의 분포로 k-번째 모멘트를 감소시키기 위해 다수에서 소수 공식을 적용한다.
• 모든 모멘트 존재가 필요 없도록 두 번째 모멘트 조건 하에서 잘라내기 추론을 사용한다.
• 모멘트 조건을 점검하고 Gromov-약한 위상에서 질량 및 거리 기능의 연속성을 이용하여 Gromov–Hausdorff–Prohorov 수렴을 확립한다.
• 제한 거리 공간을 시간에 따라 변화하는 브라운 운동 공통 조상 점과정의 변형으로 특성화하며, 이는 시간 비균일 분산을 갖는 무작위 환경에서 유도된다.
• 축소 과정과 k개의 표본 개인의 계통을 이용해 다수의 유전적 통계량의 공동 수렴을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 변동 환경에서의 거의 임계 분열 과정의 스케일링된 인구 크기에 대해 생존 조건 하에서 Yaglom 한계 법칙이 성립하는가?
• RQ2 이러한 과정의 유전적 계통적 구조가 인구 크기가 증가함에 따라 Gromov–Hausdorff–Prohorov 위상에서 수렴할 수 있는가?
• RQ3 척추 분해 방법은 기존의 모든 모멘트 가정이 아닌 두 번째 모멘트 조건 하에서도 어떻게 적용될 수 있는가?
• RQ4 인구가 변동 환경에서 장기간 생존하도록 조건화되었을 때 계통의 제한 구조는 무엇인가?
• RQ5 GHP 위상에서의 단일 수렴 결과로부터, 가장 최근 공통 조상까지의 시간과 축소된 나무와 같은 다수의 유전적 양상의 수렴을 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 변동 환경에서의 거의 임계 분열 과정의 스케일링된 인구 크기는 Yaglom 한계 하에서 지수 확률 변수로 수렴하며, 그 기댓값은 시간에 따른 환경 분산의 적분에 의해 결정된다.
• 유전적 계통적 구조는 Gromov–Hausdorff–Prohorov 위상에서 시간에 따라 변화하는 브라운 운동 공통 조상 점과정으로 수렴하며, 이는 연속 시간 공통 조상 프레임워크에서 조상 라인을 코딩한다.
• 시간 sN에서 자손이 존재하는 조상의 수는 [s,t] 기간 동안의 환경 분산에 따라 결정되는 성공 확률을 갖는 기하 확률 변수로 수렴한다.
• 이 조상들의 자손 가문의 크기들은 서로 독립적이고 지수 확률 변수로 수렴하며, 그 기댓값은 [s,t] 기간 동안의 환경 분산 적분에 비례한다.
• 유전적 거리 공간의 수렴은 가장 최근 공통 조상까지의 시간과 축소된 나무를 포함한 모든 핵심 유전적 통계량의 공동 수렴을 암시한다.
• 이 방법을 통해 GHP 위상에서 단일한 제한 대상으로부터 동시에 인구 크기, k-표본 나무, 축소 과정 등의 수렴 결과를 도출할 수 있다.