[논문 리뷰] The generic fiber of moduli spaces of bounded local $G$-shtukas

Urs Hartl, Eva Viehmann|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 21.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 45인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 함수체 설정에서 유계 국소 $G$-스투카의 모듈리 공간 이론의 기초를 수립하며, 임의의 재수성 군에 대해 라포포르트-진 공간을 일반화한다. 기간 공간으로의 기간 사상들을 구축하고, 일반 성분에서 히케 및 자기동형사상에 대해 불변인 타워를 정의하며, 이 타워의 $ι$-진 코호몰로지가 관련 군의 매끄러운 표현으로서 유한 유형임을 증명하여 양의 특성에서 기하학적 국소 랑글랜드스의 기초를 다진다.

ABSTRACT

Moduli spaces of bounded local $G$-shtukas are a group-theoretic generalization of the function field analog of Rapoport and Zink's moduli spaces of $p$-divisible groups. In this article we generalize some very prominent concepts in the theory of Rapoport-Zink spaces to our setting. More precisely, we define period spaces, as well as the period map from a moduli space of bounded local $G$-shtukas to the corresponding period space, and we determine the image of the period map. Furthermore, we define a tower of coverings of the generic fiber of the moduli space which is equipped with a Hecke action and an action of a suitable automorphism group. Finally we consider the $\ell$-adic cohomology of these towers.

연구 동기 및 목표

• 임의의 재수성 군 $G$에 대해 함수체로의 라포포르트-진 이론을 일반화하기 위해 유계 국소 $G$-스투카의 모듈리 공간을 구축함으로써.
• 기간 공간과 기간 사상을 정의하고, 이 사상의 상을 규명함으로써.
• 모듈리 공간의 일반 성분 위에 히케 및 자기동형사상 군 작용을 갖는 코호몰로지 타워를 구축함으로써.
• 이 타워의 $ι$-진 코호몰로지를 연구하고, 이 코호몰로지가 자동사상 군의 매끄러운 표현으로서 유한 유형임을 증명함으로써.

제안 방법

• ${\cal{G}}$가 $L^+G$-터소르이고 $\tau_{\cal{G}}$가 $\sigma^*L{\cal{G}} \to L{\cal{G}}$인 등장사상인 쌍 $({\cal{G}}, \tau_{{\cal{G}}})$로 국소 $G$-스투카를 정의함으로써.
• 군 $G$와 관련된 플라스크 다양체로 기간 공간을 구축하고, 모듈리 공간에서 이 기간 공간으로의 기간 사상을 정의함으로써.
• 콤��� 열린 부분군을 사용하여 일반 성분의 커버링 타워를 구성하고, 호환 가능한 히케 및 자동사상 작용을 부여함으로써.
• 체르 코호몰로지의 스펙트럴 시퀀스를 사용하여 타워의 코호몰로지를 분석하고, 부분적 닫힘성과 부분적 콤팩트 유도를 활용함으로써.
• 유한 필터링을 통해 코호몰로지 군이 유한 유형임을 보여주어, 이들의 부분구성원들이 모두 유한 유형임을 증명함으로써.
• 매끄러운 표현 이론의 결과를 적용하여 확장군의 유한성과 코호몰로지의 유한 유형 성질을 확인함으로써.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유계 국소 $G$-스투카의 모듈리 공간에서 관련 기간 공간으로의 기간 사상의 상은 무엇인가?
• RQ2 어떻게 모듈리 공간의 일반 성분 위에 히케 및 자동사상에 대해 불변인 타워를 구성할 수 있는가?
• RQ3 이 타워의 $ι$-진 코호몰로지가 자동사상 군의 매끄러운 표현으로서 갖는 구조는 무엇인가?
• RQ4 타워의 코호몰로지가 함수체 설정에서 국소 랑글랜드 상응관계를 어느 정도 실현하는가?
• RQ5 코호몰로지가 매끄러운 표현으로서 유한 유형이 되는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 유계 국소 $G$-스투카의 모듈리 공간에서 관련 기간 공간으로의 기간 사상의 상이 명시적으로 규명되었다.
• 모듈리 공간의 일반 성분은 히케 연산자와 정의된 $G$-스투카의 자동사상 군 작용을 갖는 커버링 타워를 갖는다.
• 이 타워의 $ι$-진 코호몰로지 군은 자동사상 군 $J$의 매끄러운 표현으로서 유한 유형이다.
• 유한 차원 표현과 콤팩트 유도를 포함하는 스펙트럴 시퀀스의 추론을 통해 코호몰로지 군이 유한 유형임을 증명하였다.
• 모든 적절한 표현 $\Pi$에 대해, $\operatorname{Ext}^p_J(H^q_c({\breve{\cal{M}}}^K, \overline{\mathbb{Q}}_\ell), \Pi)$ 는 $\overline{\mathbb{Q}}_\ell$ 위에서 유한 차원이며, 이는 코호몰로지의 유한 유형 성질을 확인한다.
• 부분적 닫힘성과 스펙트럴 시퀀스를 사용하여 코호몰로지를 계산하였으며, 핵심 입력 조건은 $U_K^\text{rig}$ 가 $\breve{E}$ 위에서 부분적으로 닫혀 있다는 것이다.