[논문 리뷰] The Geometry and Kinematics of the Matrix Lie Group $SE_K(3)$

Yarong Luo, Mengyuan Wang외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 02.

Inertial Sensor and Navigation참고 문헌 10인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 로봇 공학에서 확장된 자세를 모델링하기 위해 $SE_K(3)$라는 행렬 리 군을 체계적으로 유도한다. 이는 $SE(3)$를 확장하여 $K$개의 추가적인 이동 상태를 포함한다. 닫힌 형태의 역자기미분행렬, 자세 조합 법칙, 그리고 단조성 증명된 불확실성 전파를 유도함으로써, 관성 항법 및 SLAM에서 불변 확장 칼만 필터의 일관된 상태 추정을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Currently state estimation is very important for the robotics, and the uncertainty representation based Lie group is natural for the state estimation problem. It is necessary to exploit the geometry and kinematic of matrix Lie group sufficiently. Therefore, this note gives a detailed derivation of the recently proposed matrix Lie group $SE_K(3)$ for the first time, our results extend the results in Barfoot \cite{barfoot2017state}. Then we describe the situations where this group is suitable for state representation. We also have developed code based on Matlab framework for quickly implementing and testing.

연구 동기 및 목표

• 로봇 공학에서 확장된 자세를 모델링하기 위한 행렬 리 군인 $SE_K(3)$의 이론적 기반을 확장하기 위해.
• 불변 필터링에 핵심적인 역할을 하는 $SE_K(3)$에서의 역자기미분행렬에 대한 닫힌 형태의 표현식을 도출하기 위해.
• 군 연산을 사용하여 $SE_K(3)$ 내 일반 자세의 조합을 체계적으로 정의하기 위해.
• $SE_K(3)$에서의 불확실성 전파의 단조성을 분석하여 상태 추정의 일관성을 보장하기 위해.
• 로봇 공학 애플리케이션에서 테스트 및 구현을 위한 실용적인 MATLAB 기반 구현을 제공하기 위해.

제안 방법

• 반직선곱 $SO(3) \rtimes \mathbb{R}^{3K}$로 $SE_K(3)$의 기하학적 구조를 유도하여 $SE(3)$를 일반화한다.
• 로테이션 $R \in SO(3)$와 $K$개의 이동 벡터 $p_k \in \mathbb{R}^3$를 포함하는 블록 행렬 표현을 통해 군을 정의한다.
• 군의 조합 법칙을 유도: $T_1 T_2 = \begin{bmatrix} R_1 R_2 & R_1 p_2 + p_1 \end{bmatrix}$, 이는 $SE(3)$ 조합을 일반화한다.
• 군 원소의 역원을 $T^{-1} = \begin{bmatrix} R^{-1} & -R^{-1} p_k \end{bmatrix}$로 유도하여 군의 닫힘 성질을 유지한다.
• $SE_K(3)$의 리 대수 $\mathfrak{se}_K(3)$를 항등원에서의 탄젠트 공간으로 정의하며, 원소는 $\xi \in \mathbb{R}^{3(K+1)}$로 매개변수화된다.
• 웨일 부등식과 민코프스키 행렬식 부등식을 사용하여 불확실성 전파의 단조성을 증명하며, $\det(\Sigma_{ik}) > \det(\Sigma_{ij})$임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확장된 자세를 모델링하기 위해 $SE(3)$와 $SO(3)$를 일반화한 $SE_K(3)$의 기하학적 및 운동학적 성질을 체계적으로 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ2 불변 필터링에 기여하는 $SE_K(3)$에서의 역자기미분행렬에 대한 닫힌 형태의 표현식은 무엇이며, 어떻게 이를 활용할 수 있는가?
• RQ3 일반 자세의 조합은 $SE_K(3)$에서 어떻게 유도되며, 그 대수적 구조는 어떠한가?
• RQ4 A-, D-, E-최적성 기준 하에서 $SE_K(3)$에서의 불확실성 전파가 단조성을 유지하는가?
• RQ5 $SE_K(3)$는 어떤 로봇 공학 응용 분야에서 일관되고 효과적인 상태 표현을 제공하는가?

주요 결과

• 닫힌 형태의 역자기미분행렬이 $SE_K(3)$에서 유도되어, 불변 확장 칼만 필터에서 효율적인 계산을 가능하게 한다.
• 두 원소의 조합이 명시적으로 $T_1 T_2 = \begin{bmatrix} R_1 R_2 & R_1 p_2 + p_1 \end{bmatrix}$로 유도되었으며, 이는 $SE(3)$ 조합을 일반화한다.
• $SE_K(3)$에서의 불확실성 전파가 단조적이다: 불확실성 행렬의 모든 고유값이 시간이 지남에 따라 증가하여 필터링의 일관성을 보장한다.
• 불확실성 행렬의 행렬식이 전파 과정에서 증가함을 확인하여 D-최적성 기준 하에서의 단조성을 확인한다.
• 불확실성 분포의 레니 엔트로피가 단조적으로 증가하여 정보 이론적 최적성과의 일관성을 확인한다.
• 군 $SE_K(3)$는 관성 항법 및 SLAM에서 자세, 위치, 속도와 같은 확장된 상태를 모델링하는 데 적합하다.