[논문 리뷰] The Geometry of Maximum Principles and a Bernstein Theorem in Codimension 2

Renan Assimos Martins|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 14.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 Moser의 Bernstein 정리의 코디멘션-2 버전을 수립한다: ℝ^{p+2} 내의 전체 최소 그래프이면서 기울기가 유계인 경우 반드시 p-평면이어야 한다. 증명은 그라스만만의 볼록성 성질을 이용하여 비상수 조화 지도의 존재를 배제하고, 비콤팩트성을 다루기 위해 Allard의 정규성 정리를 적용한다.

ABSTRACT

Moser's Bernstein theorem \cite{moser61} says that an entire minimal graph of codimension 1 with bounded slope must be a hyperplane. An analogous result for arbitrary codimension is not true, by an example of Lawson-Osserman. Here, we show that Moser's theorem nevertheless extends to codimension 2, i.e., a minimal $p$-submanifold in $R^{p+2}$, which is the graph of a smooth function defined on the entire $R^p$ with bounded slope, must be a $p$-plane. Our method depends on convexity properties of Grassmannians which come into play as the targets of the (harmonic) Gauss maps of our minimal submanifolds. In fact, we develop a general method to construct subsets of complete Riemannian manifolds that cannot contain images of non-constant harmonic maps from compact manifolds. When applied to Grassmannians, for codimension 2, it yields an appropriate domain that cannot contain nontrivial images of such harmonic maps. Our conclusion will then be reached by an application of Allard's theorem to handle the issue that the minimal submanifolds in question are not compact.

연구 동기 및 목표

• 코디멘션 1에서 코디멘션 2로 Moser의 Bernstein 정리를 확장하기.
• ℝ^{p+2} 내에서 기울기가 유계인 전체 최소 그래프가 반드시 애파인 평면이어야 하는지 규명하기.
• 완전한 리만다이만다이만에 대한 비상수 조화 지도를 배제하는 일반적인 방법 개발하기.
• 이 방법을 코디멘션 2에서의 그라스만만에 적용하여 비자명한 조화 지도를 차단하기.
• 비콤팩트성을 다루기 위해 Allard의 정리를 사용하여 증명에서의 비콤팩트성 처리하기.

제안 방법

• 그라스만만의 볼록성 성질을 활용하여 비상수 조화 지도의 영상이 포함될 수 없는 영역을 구성하기.
• 완전한 리만다이만다이만에 적용 가능한 일반 기하학적 방법을 사용하여 콤팩트 다각체에서의 비자명한 조화 지도 배제하기.
• ℝ^{p+2} 내 최소다양체의 조화 지도를 그라스만만 다각체로 보는 조화 지도로 분석하기.
• ℝ^{p+2} 내 p-평면의 그라스만만에서 비상수 조화 지도를 배제하는 영역 식별하기.
• Allard의 정규성 정리를 사용하여 비콤팩트성에도 불구하고 최소 그래프의 매끄럽고 평탄함을 유도하기.
• 조화 지도 이론과 기하학적 분석을 결합하여 최소 그래프가 반드시 p-평면이어야 함을 결론짓기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기울기가 유계인 전체 최소 그래프에 대해 Moser의 Bernstein 정리는 코디멘션 2에서도 성립하는가?
• RQ2 콤팩트 다각체에서의 비상수 조화 지도가 코디멘션 2에서의 일부 그라스만만 영역에 사상될 수 있는가?
• RQ3 그라스만만의 어떤 기하학적 성질이 비상수 조화 지도의 영상 방지에 기여하는가?
• RQ4 Allard의 정리는 코디멘션 2에서 비콤팩트 최소 그래프에 어떻게 적용될 수 있는가?
• RQ5 ℝ^{p+2} 내 최소 그래프가 반드시 p-평면이 되기 위한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 기울기가 유계인 ℝ^{p+2} 내 전체 최소 그래프는 반드시 p-평면이어야 하며, 이는 Moser의 정리를 코디멘션 2로 확장한 것이다.
• ℝ^{p+2} 내 p-평면의 그라스만만은 비상수 조화 지도를 포함하지 않는 영역을 갖는다.
• 그라스만만의 볼록성 성질은 이러한 배제 영역을 구성하는 데 핵심적인 역할을 한다.
• 이 방법은 일반적으로 리만다이만다이만에 적용 가능하여 비자명한 조화 지도를 배제하는 도구를 제공한다.
• Allard의 정규성 정리는 콤팩트성 기반 결과를 비콤파크트 최소 그래프로 확장할 수 있게 한다.
• 기울기가 유계일 경우 코디멘션 2에서 최소 그래프의 조화 지도는 비상수일 수 없다.