[논문 리뷰] The Gromov--Hausdorff Distance between Simplexes and Two-Distance Spaces

Alexander Ivanov, Alexey Avgustinovich Tuzhilin|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 22.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 8인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 모든 비영인 거리가 동일한 단체와 두 가지 거리값 a < b를 가진 유한한 2거리 공간 사이의 Gromov–Hausdorff 거리를 계산하여, 이러한 공간에 대한 일반화된 Borsuk 문제를 해결하는 정확한 공식을 도출한다. 핵심 결과는 그래프의 클리크 커버링 수와 색수를 단체와 그래프로부터 구성된 거리공간 사이의 Gromov–Hausdorff 거리와 연결함으로써, 이러한 그래프 불변량에 기하학적 특성화를 제공한다.

ABSTRACT

In the present paper we calculate the Gromov-Hausdorff distance between an arbitrary simplex (a metric space all whose non-zero distances are the same) and a finite metric space whose non-zero distances take two distinct values (so-called $2$-distance spaces). As a corollary, a complete solution to generalized Borsuk problem for the $2$-distance spaces is obtained. In addition, we derive formulas for the clique covering number and for the chromatic number of an arbitrary graph $G$ in terms of the Gromov-Hausdorff distance between a simplex and an appropriate $2$-distance space constructed by the graph $G$.

연구 동기 및 목표

• 임의의 단체와 거리가 a와 b(a < b)인 유한한 2거리 공간 사이의 Gromov–Hausdorff 거리를 계산하는 것.
• 이 계산을 활용하여 2거리 공간에 대한 일반화된 Borsuk 문제를 해결하고, 그러한 공간이 엄밀히 더 작은 지름을 가진 m개의 부분집합으로 분할될 수 있는 조건을 규명하는 것.
• 유한 그래프의 클리크 커버링 수와 색수를 그래프로부터 유도된 2거리 공간과 단체 사이의 Gromov–Hausdorff 거리로 표현하는 것.

제안 방법

• 그래프 G의 꼭짓점 집합에 2거리 공간을 정의하여, 인접한 꼭짓점 간의 거리는 a로, 비인접한 꼭짓점 간의 거리는 b로 부여하고, a < b ≤ 2a를 만족시킨다.
• G로부터 거리공간을 구성하여, 인접한 경우 거리 a, 비인접한 경우 거리 b를 할당함으로써 2거리 공간을 형성한다.
• 이 2거리 공간과 크기가 m인 단체 사이의 Gromov–Hausdorff 거리를 사용하여 분할 가능성과 불변량을 특성화한다.
• m, k(거리 a를 가진 그래프의 연결 성분 수), θ(클리크 커버링 수)에 따라 2dGH(λΔ, X)에 대한 명시적 공식을 유도한다.
• 이전 연구에서 제시된 정리 2.12를 적용하여, 2dGH(λΔ, X) < diam X가 분할 가능성(지름이 엄밀히 작은 m개의 부분집합으로 분할 가능)을 의미함을 이용한다.
• 유도된 공식을 바탕으로 클리크 커버링 수 θ(G)와 색수 γ(G)를 m+1로 표현하며, 여기서 m는 2dGH(aΔ, V) = b를 만족하는 가장 큰 정수이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 거리가 a와 b(a < b)인 단체와 유한한 2거리 공간 사이의 Gromov–Hausdorff 거리의 정확한 값은 무엇인가요?
• RQ2 유한한 2거리 공간이 엄밀히 더 작은 지름을 가진 m개의 부분집합으로 분할될 수 있는 조건은 무엇인가요?
• RQ3 클리크 커버링 수를 Gromov–Hausdorff 거리를 사용하여 어떻게 기하학적으로 특성화할 수 있나요?
• RQ4 그래프의 색수를 그래프로부터 구성된 단체로의 Gromov–Hausdorff 거리로 표현할 수 있나요?
• RQ5 거리 a를 가진 그래프의 구조(거리 a를 가진 간선)와 단체로의 Gromov–Hausdorff 거리 사이의 관계는 무엇인가요?

주요 결과

• 크기가 m인 단체와 거리가 a < b인 2거리 공간 X 사이의 Gromov–Hausdorff 거리는 m, k(거리 a를 가진 그래프의 연결 성분 수), θ(클리크 커버링 수)에 따라 명시적인 조각별 공식으로 주어진다.
• m < θ일 경우 공간 X는 엄밀히 더 작은 지름을 가진 m개의 부분집합으로 분할될 수 없고, m ≥ θ일 경우 그러한 분할이 존재하므로 2거리 공간에 대한 일반화된 Borsuk 문제를 해결한다.
• 그래프 G의 클리크 커버링 수 θ(G)는 2dGH(aΔ, V) = b를 만족하는 가장 큰 정수 m에 대해 m+1과 같다.
• 그래프 G의 색수 γ(G)는 거리가 인접한 꼭짓점에 대해 b, 비인접한 꼭짓점에 대해 a로 할당할 경우, 2dGH(aΔ, V) = b를 만족하는 가장 큰 정수 m에 대해 m+1과 같다.
• 2dGH(λΔ, X)에 대한 공식은 공간의 분할에서의 극단적 지름과 거리 분석을 통해 유도되며, 거리 a를 가진 그래프와 그 성분의 구조를 활용한다.
• 이전 연구를 일반화하여 거리 기하학(Gromov–Hausdorff 거리)을 이산 불변량(클리크 커버링 수와 색수)과 연결함으로써, 이러한 그래프 매개변수에 새로운 기하학적 해석을 제공한다.