[논문 리뷰] The Halo Mass Function from the Excursion Set Method. I. First principle derivation for the non-markovian case of gaussian fluctuations and generic filter

Michele Maggiore, Antonio Riotto|arXiv (Cornell University)|2009. 03. 06.

Astronomy and Astrophysical Research인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 필터와 가우시안 변동을 고려한 비마르코프성 동역학을 위한 추적 집합 방법을 사용하여 헬로 질량 함수의 원리적 유도를 제시한다. 흡수 경계를 가진 경로 적분으로 문제를 공식화함으로써, 좌표 공간에서 토파트 필터에 대해 몬테카를로 시뮬레이션과 정확히 일치하는 해석적 결과를 도출하였으며, 고정된 장벽을 가진 표준 구형 붕괴 모델의 한계를 드러내고 엄밀한 수학적 기반을 확립하였다.

ABSTRACT

A classic method to compute the mass function of dark matter halos is the excursion set method. To date, however, analytical results were only obtained if the density perturbation is smoothed with a sharp filter in momentum space: the dynamics is then markovian, and the probability satisfies the Fokker-Planck equation, with an "absorbing barrier" boundary condition. For different filters or when non-Gaussianity is present, the dynamics becomes non-markovian, the probability does not satisfy a local diffusion equation, and even the notion of absorbing barrier may be ill-defined. We develop an approach from first principles for computing analytically the halo mass function, formulating the problem in terms of a path integral with boundaries, valid for a generic filter function and arbitrary non-Gaussian theories. We perform explicitly the computation of the halo mass function with a tophat filter in coordinate space, finding full agreement with existing Monte Carlo simulations. These results put excursion set theory on firmer mathematical foundation and confirm that excursion set theory does not reproduce well the results of N-body simulations when combined with the spherical collapse model with fixed collapse barrier. In paper II of this series we show that this discrepancy disappears when one properly takes into account the fact that the collapse barrier is itself of stochastic nature, and in paper III we use the formalism deve loped in this paper to compute from first principles the effect of non-Gaussianities on the halo mass function.

연구 동기 및 목표

• 마르코프 근사 이외의 상황에서 헬로 질량 함수를 수학적으로 엄밀하게 계산할 수 있는 원리적 접근법을 개발하기 위해.
• 고정된 붕괴 장벽과 구형 붕괴 모델을 사용할 경우 표준 추적 집합 이론이 실패하는 이유를 다루고, 이는 N-body 시뮬레이션과의 불일치를 포함한다.
• 일반적인 필터 함수와 비마르코프성 동역학, 가우시안 초기 조건을 포함한 추적 집합 방법을 일반화하기 위해.
• 향후 논문에서 헬로 질량 함수의 비가우시안성 분석을 위한 기반을 마련하기 위해.

제안 방법

• 헬로 형성 문제를 붕괴 임계값에 도달하는 첫 번째 통과 시간을 나타내는 흡수 경계를 가진 경로 적분으로 공식화하기.
• 특히 토파트 필터를 사용하여 좌표 공간 내의 일반적인 필터 함수를 정의함으로써 밀도 편차의 스무딩 스케일 의존성을 기술하기.
• 마르코프 경우에만 적용 가능한 포크너-플랭크 방정식을 피함으로써 밀도 장의 진화가 비마르코프성을 가지는 것을 모델링하기.
• 기억 효과를 고려한 스트로스틱 과정 이론을 사용하여 첫 번째 통과 시간 분포를 유도하기.
• 토파트 필터에 대해 경로 적분을 해석적으로 풀어 몬테카를로 시뮬레이션과의 비교를 가능하게 하기.
• 비마르코프성 동역학 하에서 표준 구형 붕괴 모델과 고정된 장벽이 경로 적분 공식화와 일치하지 않음을 입증하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비마르코프성 동역학과 일반적인 필터 함수를 사용할 경우 헬로 질량 함수를 해석적으로 유도할 수 있는가?
• RQ2 왜 표준 추적 집합 접근법에서 고정된 붕괴 장벽을 사용할 경우 N-body 시뮬레이션 결과를 재현하지 못하는가?
• RQ3 흡수 경계를 가진 경로 적분 공식화가 마르코프 경우를 초월해 추적 집합 방법을 어떻게 일반화하는가?
• RQ4 필터 함수가 비마르코프성 동역학에서 헬로 질량 함수의 형태에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 붕괴 장벽의 확률적 성격을 어떻게 추적 집합 형식에 적절히 통합할 수 있는가?

주요 결과

• 좌표 공간에서 토파트 필터를 사용한 경로 적분 접근법을 통해 도출된 해석적 헬로 질량 함수는 기존 몬테카를로 시뮬레이션과 완전히 일치한다.
• 고정된 장벽과 구형 붕괴를 가진 표준 추적 집합 접근법은 밀도 장의 진화가 비마르코프성을 가지는 것을 고려하지 못하기 때문에 시뮬레이션과 일치하지 않는다.
• 경로 적분 공식화는 마르코프 극한을 초월한 추적 집합 이론에 대해 수학적으로 엄밀한 기반을 제공한다.
• 비마르코프성 동역학은 포크너-플랭크 방정식의 사용과 표준 공식화에서 단순한 흡수 경계 개념을 무효화한다.
• 표준 모델과 시뮬레이션 간의 격차는 결정론적이고 고정된 붕괴 장벽을 잘못 가정한 데 기인한다.
• 결과적으로, N-body 시뮬레이션과의 일치를 회복하기 위해 붕괴 장벽의 확률적 성격을 포함시켜야 한다는 것이 입증되었으며, 이는 이 시리즈의 제2편 논문에서 확인되었다.