[논문 리뷰] The Hamilton principle for fluid binary mixtures with two temperatures

Henri Gouin, Tommaso Ruggeri|ArXiv.org|2009. 05. 02.

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics참고 문헌 27인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 구성 성분의 온도가 다를 수 있는 유체 이성분 혼합물에 대해 해밀턴 원리를 확장하여, 다중 엔트로피와 상대 속도를 포함하는 변분 형식을 통해 운동 방정식과 에너지 수지 방정식을 유도한다. 주요 기여는 온도 차이로 인해 발생하는 동역학적 압력 항을 규명한 것으로, 이는 고전적 열역학 예측와 일치하며 제2법칙을 통해 시스템을 닫는다.

ABSTRACT

For binary mixtures of fluids without chemical reactions, but with components having different temperatures, the Hamilton principle of least action is able to produce the equation of motion for each component and a balance equation of the total heat exchange between components. In this nonconservative case, a Gibbs dynamical identity connecting the equations of momenta, masses, energy and heat exchange allows to deduce the balance equation of energy of the mixture. Due to the unknown exchange of heat between components, the number of obtained equations is less than the number of field variables. The second law of thermodynamics constrains the possible expression of a supplementary constitutive equation closing the system of equations. The exchange of energy between components produces an increasing rate of entropy and creates a dynamical pressure term associated with the difference of temperature between components. This new dynamical pressure term fits with the results obtained by classical thermodynamical arguments and confirms that the Hamilton principle can afford to obtain the equations of motions for multi-temperature mixtures of fluids.

연구 동기 및 목표

• 각 성분이 별개의 온도와 엔트로피를 가지는 유체 이성분 혼합물에 대해 변분 원리를 수립하는 것.
• 비보존적, 다중 온도 조건에서 해밀턴 원리를 사용하여 각 성분의 운동 방정식과 총 에너지 수지 방정식을 유도하는 것.
• 제2법칙에 의해 제약을 받는 구성 방정식을 도입하여 방정식계를 닫는 것.
• 온도 차이로 인해 발생하는 동역학적 압력 항을 규명하고, 이가 고전적 열역학 예측와 일치하는지 확인하는 것.
• 변분 접근법이 약한 소산 조건에서 기존의 법칙(예: 푸아제의 법칙, 푸아제의 법칙)과 일치하는 결과를 도출함을 보여주는 것.

제안 방법

• 밀도, 엔트로피, 상대 속도, 외부 힘에 의존하는 일반화된 해밀턴 작용 원리를 수립한다.
• 유도러시안 좌표계에서 변분을 적용하여 각 성분의 운동 방정식과 질량 수지 방정식을 유도한다.
• 시간 이동 불변성을 사용하여 성분 간 열교환 수지 방정식을 유도한다.
• 운동량, 질량, 에너지, 열교환 방정식을 연결하는 지브스 동역학 항등식을 유도하여 혼합물 전체의 에너지 방정식을 도출한다.
• 약한 소산 조건에서 局부 평형을 위한 평균 온도를 도입하여 실제 상태와 평형 상태를 비교한다.
• 제2법칙을 적용하여 열교환 및 운동량 생성 항의 구성 형태를 제약한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 해밀턴 원리는 다중 온도를 가진 유체 혼합물에 대해 확장되어 일관된 운동 방정식과 에너지 수지 방정식을 도출할 수 있는가?
• RQ2 각 성분의 온도가 다를 경우 변분 형식과 도출된 방정식계에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 제2법칙은 이러한 혼합물에서 열 및 운동량 교환의 구성 방정식을 제약하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 성분 간 온도 차이로 인해 발생하는 동역학적 압력 항은 고전적 열역학 결과와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 유도된 방정식은 어떤 방식으로 약한 소산 조건에서 알려진 법칙(예: 푸아제의 법칙, 푸아제의 법칙)으로 축소되는가?

주요 결과

• 변분 형식은 이성분 유체 혼합물에서 각 성분의 운동 방정식과 성분 간 열교환 수지 방정식을 성공적으로 도출한다.
• 성분 간 온도 차이로 인해 동역학적 압력 항이 도출되며, 이는 고전적 열역학 예측와 일치한다.
• 지브스 동역학 항등식을 통해 성분 수준의 수지로부터 혼합물 전체의 에너지 방정식을 도출할 수 있어 열역학적 일관성을 확보한다.
• 약한 소산 조건에서 모델은 운동량 생성과 속도 차이 간 비례성에 의해 푸아제의 법칙을 복원한다.
• 엔트로피 생성 항이 비음이 아니며 제2법칙을 만족하며, 양의 비례 계수를 가진 구성 관계를 통해 시스템이 닫힌다.
• 1차 근사에서 도출된 방정식은 고전적 형태(예: 나비에-스토크스, 푸아제)로 축소되어 기존의 비가역 열역학과의 일관성을 확인한다.