[논문 리뷰] The higher order fractional Calder\'on problem for linear local operators: uniqueness

Giovanni Covi, Keijo Mönkkönen외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 08. 24.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 44인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 분수 슈뢰딩거 방정식의 고차 미소 변형에서 계수의 유일성을 외부 딜레르흐-노이만(DN) 사상과 함께 증명한다. 소볼레프 승수 공간과 룬게 근사법을 활용하여, m < 2s인 선형 미분형식의 계수를 유일하게 결정함을 증명하며, 이는 이전의 영차 및 일차 미소 변형 결과를 분수 소볼레프 공간 또는 승수 공간에 속하는 계수를 갖는 고차 연산자로 일반화한다.

ABSTRACT

We study an inverse problem for the fractional Schr\"odinger equation (FSE) with a local perturbation by a linear partial differential operator (PDO) of order smaller than the order of the fractional Laplacian. We show that one can uniquely recover the coefficients of the PDO from the Dirichlet-to-Neumann (DN) map associated to the perturbed FSE. This is proved for two classes of coefficients: coefficients which belong to certain spaces of Sobolev multipliers and coefficients which belong to fractional Sobolev spaces with bounded derivatives. Our study generalizes recent results for the zeroth and first order perturbations to higher order perturbations.

연구 동기 및 목표

• 영차 및 일차 미분형식에 대한 이전 결과를 고려하여, 분수 캘러드론 문제에서 고차 국소 미소 변형의 유일성 문제를 해결한다.
• 부분 영역 Ω에서 경계가 매끄러운 유계 영역에서, 선형 미분형식의 차수 m < 2s인 계수들이 외부 딜레르흐-노이만(DN) 사상에 의해 유일하게 결정됨을 증명한다.
• 이전 결과를 일반화하기 위해, 분수 소볼레프 공간(유계 도함수 포함)과 소볼레프 승수 공간을 포함한 더 넓은 함수 공간에 계수를 허용한다.
• 기능 해석학 및 PDE 기법을 사용하여, 국소 미소 변형을 갖는 비국소 연산자에 대한 역문제를 위한 엄밀한 프레임워크를 제공한다.
• 이전 연구([12]의 질문 7.5)에서 제기된 추측을 확인한다. 즉, 경계가 매끄러운 유계 영역에서 계수가 매끄러운 고차 분수 캘러드론 문제의 유일성 결과를 검증한다.

제안 방법

• 유계 영역 Ω에서 외부 데이터를 갖는 변형된 분수 슈뢰딩거 방정식 ((−∆)^s u + P(x,D)u = 0)의 역문제를 수립한다.
• 외부 DN 사상 Λ_P를 비국소 노이만 경계 조건 연산자로 정의하여, 외부 딜레르흐 데이터에서 비국소 노이만 데이터로의 사상으로 간주한다.
• 미분형식 P(x,D)의 허용 가능한 계수 공간을 특징짓기 위해 소볼레프 승수 이론 M_0(H^{s-|α|} → H^{-s})를 사용한다.
• Kato-Ponce 부등식과 보간 추정을 적용하여, PDE와 관련된 이차형식의 저차항을 제어한다.
• 고차 Poincaré 유형 부등식과 변형 기법을 통해 이차형식의 강제성( coercivity )을 확립한다.
• Runge 근사성질과 Alessandrini 유형 항등식을 활용하여, DN 사상의 차이와 계수의 차이를 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 외부 딜레르흐-노이만 사상은 분수 슈뢰딩거 방정식에서 고차 선형 미분형식의 계수를 유일하게 결정할 수 있는가?
• RQ2 고차 분수 캘러드론 문제에서 유일성을 보장하기 위해 계수에 대한 어떤 함수 공간 조건이 필요한가?
• RQ3 영차 및 일차 미소 변형에서의 결과가 일반적인 m차 미분형식( m < 2s)으로 확장되는가?
• RQ4 계수가 분수 소볼레프 공간(유계 도함수 포함) 또는 승수 공간에 속할 경우, 계수 복원이 가능해지는가?
• RQ5 국소 미소 변형을 갖는 고차 분수 PDE에 대해 Runge 근사성질이 성립하는가?

주요 결과

• 계수가 소볼레프 승수 공간 M_0(H^{s-|α|} → H^{-s})에 속할 경우, 외부 DN 사상은 m < 2s인 선형 미분형식의 계수를 유일하게 결정한다.
• 계수가 H^{r_α,∞}(Ω)에 속할 경우, 식 (1.4)에 정의된 r_α에 대해, 미분형식의 계수 a_{j,α}가 DN 사상에 의해 유일하게 결정되며, 이는 |α| − s가 반정수일 경우에도 성립한다.
• 결과는 [12, 정리 1.5]를 고차 연산자로 일반화하고, [44, 정리 1.1]을 m > 0로 확장하여 고차 미소 변형의 경우를 포함한다.
• 증명은 Kato-Ponce 부등식과 보간을 포함한 새로운 이차형식의 강제성 추정에 기반하며, 해의 존재성과 유일성을 보장한다.
• Runge 근사성질은 원래 방정식과 수반 방정식 모두에 대해 성립하여, Alessandrini 항등식을 통해 DN 사상의 차이와 계수의 차이를 연결하는 데 기여한다.
• 0이 ((−∆)^s + P(x,D))의 딜레르흐 고유값이 아닐 조건 하에서, 정의된 문제의 잘 정의됨이 보장되며, 이는 정방 문제의 해가 존재하고 유일함을 의미한다.