[논문 리뷰] The Inapproximability of Maximum Single-Sink Unsplittable, Priority and Confluent Flow Problems

F. Bruce Shepherd, Adrian Vetta|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 02.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 15인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 유량이 분할 불가능하고 우선순위가 있으며, 유속이 일치하는 최대 단일 수용자 유량 문제에 대해 강력한 근사 불가능성 결과를 확립한다. 이는 유도 그래프조차도 $ O(\text{polylog}(n)) $ 이하의 근사 비율을 달성할 수 없는 다항 시간 알고리즘이 존재하지 않음을 증명한다. 또한 단일 수용자 분할 불가능 유량 문제의 경우, 유도 그래프에서 $ O(m^{1/2 - \epsilon}) $ 이내의 근사가 불가능하며, 이 경계는 수요 대 용량 비율이 유한한 경우에도 유지되며, 분할 불가능 및 우선순위 유량 문제에 대해 그린드 알고리즘을 통한 매칭 상한 근사치를 제공한다.

ABSTRACT

We consider single-sink network flow problems. An instance consists of a capacitated graph (directed or undirected), a sink node $t$ and a set of demands that we want to send to the sink. Here demand $i$ is located at a node $s_i$ and requests an amount $d_i$ of flow capacity in order to route successfully. Two standard objectives are to maximise (i) the number of demands (cardinality) and (ii) the total demand (throughput) that can be routed subject to the capacity constraints. Furthermore, we examine these maximisation problems for three specialised types of network flow: unsplittable, confluent and priority flows. In the {\em unsplittable flow} problem (UFP), we have edge capacities, and the demand for $s_i$ must be routed on a single path. In the {\em confluent flow} problem, we have node capacities, and the final flow must induce a tree. Both of these problems have been studied extensively, primarily in the single-sink setting. However, most of this work imposed the {\em no-bottleneck assumption} (that the maximum demand $d_{max}$ is at most the minimum capacity $u_{min}$). Given the no-bottleneck assumption (NBA), there is a factor $4.43$-approximation algorithm due to Dinitz et al. for the unsplittable flow problem. Under the stronger assumption of uniform capacities, there is a factor $3$-approximation algorithm due to Chen et al. for the confluent flow problem. However, unlike the UFP, we show that a constant factor approximation algorithm cannot be obtained for the single-sink confluent flows even {\bf with} the NBA. Without NBA, we show that maximum cardinality single-sink UFP is hard to approximate to within a factor $n^{.5-ε}$ even when all demands lie in a small interval $[1,1+Δ]$ where $Δ>0$ (but has polynomial input size). This is very sharp since when $Δ=0$, this becomes a maximum flow problem.

연구 동기 및 목표

• 유량 용량이 제한된 네트워크에서 최대 단일 수용자 분할 불가능, 우선순위 및 유속 유량 문제에 대해 날카로운 근사 불가능성 경계를 확립하기 위해.
• 특히, 병목 없음 가정이 없을 경우 알려진 상한과 하한 간의 격차를 메우기 위해.
• 실제 제약 조건, 예를 들어 유한한 수요 대 용량 비율 및 작은 수요 분포를 고려한 근사의 어려움을 분석하기 위해.
• 설정된 근사 불가능성 하한과 거의 매칭되는 그린드 알고리즘을 개발하고 분석하기 위해.

제안 방법

• 기존의 어려운 문제에서의 감소를 통해 단일 수용자 유속 유량 문제에 대해 $ O(\log^{1-\epsilon} n) $-하드를 증명하였으며, 이는 유도 그래프에서 카디널리티 및 유량 목표 모두에 대해 유효하다.
• 아자르와 레게브의 $ \Omega(m^{1-\epsilon}) $-하드 결과를 방향성 그래프에서 비방향성 그래프로 확장하였으며, 평면 네트워크 포함, 분할 불가능 유량 문제의 카디널리티 목표에 대해 적용하였다.
• 모든 수요와 용량이 임의의 $ \Delta > 0 $ 에 대해 작은 범위 $[1, 1+\Delta]$ 내에 있을 경우에도 근사 불가능성 결과가 유지됨을 입증하였다. 이는 지수적 크기의 수요가 필요 없음을 의미한다.
• 분할 불가능 및 유속 유량 설정 사이의 연속적인 전이로 간주되는 우선순위 유량 모델을 도입하였으며, 간선과 수요에 우선순위 수준을 매개변수로 설정하였다.
• 우선순위 클래스 수 $ k $ 를 고려하여 $ O(\min\{k, \sqrt{m}\}) $-근사치를 달성하는 그린드 알고리즘을 제안하였다.
• 차단 경로 논증과 체비셰프 합 부등식을 사용하여, 만족되지 않은 최적 수요의 수를 그린드 경로의 수와 길이에 따라 경계 지었다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 병목 없음 가정 하에 단일 수용자 유속 유량 문제에 대해 상수 요인 근사 알고리즘이 달성 가능한가?
• RQ2 병목 없음 가정이 없더라도, 유도 그래프에서 단일 수용자 분할 불가능 유량 문제는 $ O(\text{polylog}(n)) $ 이내의 근사가 불가능한가?
• RQ3 분할 불가능 유량의 근사 불가능성은 수요 대 용량 비율이 유한한 경우에도 확장되는가?
• RQ4 우선순위 유량 문제에 대해 달성 가능한 최적 근사 비율은 무엇이며, 간선 및 수요 우선순위의 구조와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 특히 $ \sqrt{n} $ 대비 $ \sqrt{m} $ 로 표현된 경우, 분할 불가능 유량 문제의 상한과 하한 간 격차를 메울 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $ \epsilon > 0 $ 에 대해, 단일 수용자 유속 유량 문제의 경우, 유도 그래프에서조차도 $ O(\log^{1-\epsilon} n) $ 이내의 근사가 불가능하며, 이는 카디널리티 및 유량 목표 모두에 대해 성립한다.
• 유도 그래프에서 단일 수용자 분할 불가능 유량 문제는 $ O(m^{1/2 - \epsilon}) $ 이내의 근사가 불가능하며, 이는 유도 그래프에 대한 초초항상 근사 불가능성 결과로 처음으로 기록된 바 있다.
• 모든 수요와 용량이 임의의 $ \Delta > 0 $ 에 대해 작은 범위 $[1, 1+\Delta]$ 내에 있을 경우에도 분할 불가능 유량 문제의 근사 불가능성 결과가 유지되며, 이는 지수적 크기의 수요가 필요 없음을 의미한다.
• 분할 불가능 유량 문제의 유량 목표 역시 $ O(m^{1/2 - \epsilon}) $ 이내의 근사가 불가능하며, 이는 수요 비율이 유한한 경우에도 성립한다.
• 그린드 알고리즘이 우선순위 유량 문제의 최대 유량에 대해 $ O(\min\{k, \sqrt{m}\}) $-근사치를 달성하며, 이는 근사 불가능성 하한과 상수 요인 이내로 매칭된다.
• 분할 불가능 및 우선순위 유량 문제에 대해 $ O(\sqrt{m}) $-근사 상한은 거의 최적이다. 왜냐하면 근사 불가능성 결과가 $ \Omega(m^{1/2 - \epsilon}) $ 이며, 이 경계는 일반 다중유량 문제에 대해서도 유지되기 때문이다.