[논문 리뷰] The Inverse of Exact Renormalization Group Flows as Statistical Inference

David S. Berman, Marc S. Klinger|arXiv (Cornell University)|2022. 12. 21.

Statistical Mechanics and Entropy참고 문헌 69인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 정확한 재규격화군(ERG) 흐름과 베이지안 통계적 추론 사이의 이중성을 수립한다. ERG 흐름은 기능적 대류-확산 방정식으로 제어되며, 이는 동적 베이지안 추론의 역과정으로 간주될 수 있다. 이는 확률 분포를 베이지안 업데이트를 통해 진화시키는 방식이다. 주요 기여는 ERG 특성과 베이지안 추론 구성요소 사이의 공식적 사전((dictionary))을 제공하며, 재규격화를 정보 손실로, 추론을 정보 획득으로 재해석한다.

ABSTRACT

We build on the view of the Exact Renormalization Group (ERG) as an instantiation of Optimal Transport described by a functional convection-diffusion equation. We provide a new information theoretic perspective for understanding the ERG through the intermediary of Bayesian Statistical Inference. This connection is facilitated by the Dynamical Bayesian Inference scheme, which encodes Bayesian inference in the form of a one parameter family of probability distributions solving an integro-differential equation derived from Bayes' law. In this note, we demonstrate how the Dynamical Bayesian Inference equation is, itself, equivalent to a diffusion equation which we dub Bayesian Diffusion. Identifying the features that define Bayesian Diffusion, and mapping them onto the features that define the ERG, we obtain a dictionary outlining how renormalization can be understood as the inverse of statistical inference.

연구 동기 및 목표

• 정확한 재규격화군(ERG) 흐름과 베이지안 통계적 추론 사이의 공식적 이중성을 수립하기.
• 기능적 확산 방정식을 통해 ERG를 정보 손실 과정으로 재해석하고, 이는 베이지안 추론의 정보 획득 과정과 대비함으로써.
• 새로운 '베이지안 확산' 방정식을 통해 동적 베이지안 추론 방정식과 ERG 흐름 사이의 대응관계를 유도하기.
• ERG 구성요소(예: 베타 함수, 흐름 매개변수)를 베이지안 추론 구성요소(예: 우도, 사전분포, 사후 업데이트)로 매핑하는 체계적인 사전을 구축하기.
• ERG의 재규격화 가능성과 척도 의존성은 베이지안 추론의 방법론 독립성과 드리프트와 대응됨을 보여주기.

제안 방법

• 장의 구성에 대한 확률 분포 공간 위에서 기능적 대류-확산 방정식으로 ERG 흐름을 공식화하기.
• 동적 베이지안 추론 프레임워크를 도입하여, 베이즈 법칙에서 유도된 적분미분방정식으로 제어되는 일련의 확률 분포 가속도를 모델링하기.
• 유도된 방정식을 '베이지안 확산' 과정으로 식별하며, 이는 사전분포와 우도에서 유도된 드리프트 및 확산 항을 포함한 확산형 PDE이다.
• 기능적 형태와 기하학적 구조를 비교함으로써, 베이지안 확산 방정식과 ERG 흐름 간의 등가성을 수립하기.
• 최적 운반 이론을 활용하여 ERG와 베이지안 추론을 모두 확률 공간 위의 흐름으로 해석하며, ERG는 전진 확산이고 추론은 역방향 복원임을 설명하기.
• 스토하스틱 채널의 수반 연산자인 Petz 맵을 통해 ERG 흐름의 역함수를 유도하며, 이는 ERG의 역이 베이지안 추론과 동치임을 보여주어 채널 이론 수준에서 이중성을 확인하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정확한 재규격화군(ERG) 흐름은 확률 분포 공간에서의 전진 확산 과정으로 간주될 수 있는가?
• RQ2 순차적 데이터를 통해 신념을 업데이트하는 동적 베이지안 추론은 ERG 흐름의 역과정과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 ERG의 기능적 대류-확산 방정식과 베이지안 확산 방정식 사이의 정밀한 수학적 대응관계는 무엇인가?
• RQ4 ERG의 방법론 독립성과 베이지안 추론의 사전 선택은 흐름 방정식의 구조를 통해 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 양자장론에서의 재규격화 가능성은 흐름의 후기 시점에서 안정성 조건으로 재해석될 수 있는가, 특히 베이지안 추론의 맥락에서?

주요 결과

• ERG 흐름은 수학적으로 기능적 대류-확산 방정식과 동치이며, 이는 정보 손실을 초래하는 연속적인 군집화 과정을 나타낸다.
• 동적 베이지안 추론은 베이즈 법칙에 따라 일련의 확률 분포 가속도를 생성하며, 이는 '베이지안 확산'으로 알려진 확산형 PDE를 만족함을 입증하였다.
• 드리프트 및 확산 항이 일치할 경우, 베이지안 확산 방정식은 ERG 흐름과 수학적으로 동치이며, 이는 추론과 재규격화 사이의 이중성을 수립한다.
• ERG 흐름의 역함수는 베이지안 추론에 해당하며, ERG의 초기 확률 분포는 역과정에서 베이지안 업데이트를 통해 복원된다.
• 스토하스틱 채널의 수반 연산자인 Petz 맵을 통해 ERG 흐름의 역함수를 실현함을 보였으며, 이는 채널 이론 수준에서 이중성을 확인한다.
• 후기 시점에서, 베이지안 확산 방정식은 안정된 사후분포로 수렴하며, 이는 ERG 흐름의 고정점과 유사하다. 이는 재규격화군 고정점과 베이지안 사후분포를 연결한다.