[논문 리뷰] The Julia set of a post-critically finite endomorphism of PC^2

Volodymyr Nekrashevych|arXiv (Cornell University)|2008. 11. 17.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 13인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $ \mathbb{P}\mathbb{C}^2 $에서의 후보비특이 유한 종말형 사상 $ f(z,w) = \big((1 - 2z/w)^2, (1 - 2/w)^2 \big) $에 대해, 반복 단일화군과 기울인 곱의 구조를 이용하여 줄리 집합의 조합론적 모델을 구축한다. 삼각피리지의 번들 위에서의 접기 사상에 의한 다면체 근사법을 도입하여, 줄리 집합이 이러한 근사 복합체들의 역극한임을 증명한다.

ABSTRACT

We construct a combinatorial model of the Julia set of the endomorphism $f(z, w)=((1-2z/w)^2, (1-2/w)^2)$ of $PC^2$.

연구 동기 및 목표

• 특정한 후보비특이 유한 종말형 사상 $ \mathbb{P}\mathbb{C}^2 $에 대해 줄리 집합의 조합론적 모델을 구축하는 것.
• 줄리 집합을 그를 근사하는 3차원 다면체 복합체의 수열의 역극한으로 묘사하는 것.
• 사상의 기울인 곱의 구조를 이용하여 줄리 집합을 허버드 삼각피리지의 번들로 모델링하는 것.
• 반복 단일화군의 군론적 자료를 활용하여 절단-붙이기 유도적 구성법을 통한 근사의 구축.
• 줄리 집합의 $ w $-좌표 상의 점들 위에서의 섹션을 분석하고, 그것이 유한한 나무가 되는 조건을 규명하는 것.

제안 방법

• 사상 $ f $의 반복 단일화군(IMG)을 사용하고, 이를 인덱스 2인 군 $ \Gamma $로 확장하여 동역학을 모델링한다.
• 군 $ \Gamma $의 핵을 여섯 개의 유한 부분군의 합집합으로 구성하여, 초기 단순 복합체를 만드는 데 사용되는 부분순서집합(poset)을 형성한다.
• 초기 근사 복합체를 공통 면을 공유하는 세 개의 테트라헤드론으로 이루어진 복합체로 정의하고, 줄리 집합을 모델링하기 위해 이 복합체를 두 번 중첩한다.
• 유도적 절단-붙이기 규칙을 개발: 각 수준 $ \mathcal{M}_n $은 경계가 11개 영역으로 분할된 복합체 $ \mathcal{T}_n $의 두 개의 복사본을 붙여서 형성된다.
• 11개의 경계 사상 $ \kappa_{g,n} $ 중 다섯 개를 사용하여, $ \mathcal{T}_n $의 네 개의 복사본을 $ \mathcal{T}_{n+1} $로 붙이되, 군 $ \Gamma $를 정의하는 유한 오ート마타에 따라 유도한다.
• 줄리 집합이 근사 복합체 $ \mathcal{M}_n $의 역극한임을 증명하고, 복합체 간의 연결 사상 $ \iota_n $ 이 특정 점들 위에서 섹션에 대해 위상동형을 유도함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 점 $ w_0 $ 위에서 줄리 집합의 섹션이 유한한 나무가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 후보비특이 유한 종말형 사상 $ \mathbb{P}\mathbb{C}^2 $의 줄리 집합은 군론적 자료를 이용해 어떻게 조합론적으로 모델링할 수 있는가?
• RQ3 사상 $ f $의 반복 단일화군의 극한 공간의 구조는 무엇이며, 줄리 집합과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 사상 $ f $의 기울인 곱의 구조는 줄리 집합을 허버드 삼각피리지의 번들로 분해하는 데 어떻게 기여하는가?
• RQ5 사상 $ f $가 어떤 섹션에 제한되었을 때, 테이트 맵이나 이차 다항식과 위상동형이 되는가?

주요 결과

• 사상 $ f $의 줄리 집합은 3차원 다면체 복합체 $ \mathcal{M}_n $의 수열의 역극한과 위상동형이며, 각 복합체는 절단-붙이기 구성법으로 근사된다.
• 점 $ w=1 $ 위에서의 섹션 $ \rho^{-1}(A') $는 사상 $ p \circ \theta $에 대해 불변인 선분이며, 이 사상은 테이트 맵으로 작용한다. 이에 대응하는 절단 $ J_1 $은 사상 $ z \mapsto (1-2z)^2 $과 위상동형이다.
• 점 $ \zeta $가 사상 $ \widehat{f}(w) = (1 - 2/w)^2 $에 의해 궁극적으로 고정점 $ 1 $으로 옮겨질 때에만 섹션 $ \rho^{-1}(\zeta) $는 유한한 나무가 된다.
• 한정 다이렌드 $ \rho_\infty^{-1}(\zeta) $가 정확히 유한한 그래프가 되는 것은, 사상 $ F $에 따른 삼각피리지 길이의 이터리네이트가 오직 한 개의 비영인 다리를 갖는 상태로 끝날 때이다.
• 근사 복합체 $ \mathcal{M}_n $은 경계가 11개 영역으로 나누어진 복합체 $ \mathcal{T}_n $의 두 복사본을 붙여서 구성되며, 각 영역은 치환 사상 $ \kappa_{g,n} $에 의해 지배된다.
• 점 $ w_0 $에 제한된 섹션 중 $ w=1 $으로 궁극적으로 옮겨지는 경우, 그 동역학은 욤-폰 노이만 맵과 위상동형이며, 해당 섹션의 줄리 집합은 구간 $[0,1]$과 같다.