[논문 리뷰] The Kuenneth formula for graphs

Oliver Knill|arXiv (Cornell University)|2015. 05. 28.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 15인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유한 단순 그래프에 대한 새로운 카르테시안 곱을 제안하며, 그래프 코homology에서 쿠른트 공식을 만족시고, 곱의 푸앵카레 다항식이 각 요소의 다항식의 곱으로 분해됨을 보장한다. 이 구성은 이산 de Rham 코homology와 체인 호모토피를 사용하여 de Rham 코homology와 단순체 코homology 사이의 동형사상을 확립하며, 곱 그래프의 코homology가 각 요소의 코homology의 텐서곱으로 분해됨을 증명한다. 이는 연속 위상수학에서 관찰되는 차원과 색칠 수의 성질을 그대로 반영한다.

ABSTRACT

We construct a Cartesian product G x H for finite simple graphs. It satisfies the Kuenneth formula: H^k(G x H) is a direct sum of tensor products H^i(G) x H^j(G) with i+j=k and so p(G x H,x) = p(G,x) p(H,y) for the Poincare polynomial p(G,x) and X(G x H) = X(G) X(H) for the Euler characteristic X(G)=p(G,-1). G1=G x K1 has as vertices the simplices of G and a natural digraph structure. We show that dim(G1) is larger or equal than dim(G) and G1 is homotopic to G. The Kuenneth identity is proven using Hodge describing the harmonic forms by the product f g of harmonic forms of G and H and uses a discrete de Rham theorem given by a combinatorial chain homotopy between simplicial and de Rham cohomology. We show dim(G x H) = dim(G1) + dim(H1) implying that dim(G x H) is larger or equal than dim(G) + dim(H) as for Hausdorff dimension in the continuum. The chromatic number c(G1) is smaller or equal than c(G) and c(G x H) is bounded above by c(G)+c(H)-1. The automorphism group of G x H contains Aut(G) x Aut(H). If G~H and U~V then (G x U) ~ (H x V) if ~ means homotopic: homotopy classes can be multiplided. If G is k-dimensional geometric meaning that all unit spheres S(x) in G are (k-1)-discrete homotopy spheres, then G1 is k-dimensional geometric. If G is k-dimensional geometric and H is l-dimensional geometric, then G x H is geometric of dimension (l+k). The product extends to a ring of chains which unlike the category of graphs is closed under boundary operation taking quotients G/A with A subset Aut(G). As we can glue graphs or chains, joins or fibre bundles can be defined with the same features as in the continuum, allowing to build isomorphism classes of bundles.

연구 동기 및 목표

• 이산 코hom로지에서 연속적인 경우와 유사하게 쿠른트 공식을 만족하는 그래프 곱을 정의하는 것.
• 부분 도함수와 조화 형식을 사용하여 곱 그래프 위에 이산 de Rham 코homology 이론을 수립하는 것.
• 곱 그래프의 코homology가 각 요소의 코homology의 텐서곱과 동형임을 증명하는 것.
• 경계 연산과 몫에 대해 닫혀 있는 그래프의 링으로 곱을 확장하여 그래프 번들의 구성이 가능하도록 하는 것.

제안 방법

• 유한 단순 그래프 $G$와 $H$의 완전부분그래프 쌍을 정점으로 사용하여 $G \times H$의 카르테시안 곱을 정의한다.
• 그래프 $G$와 $H$의 부분도함수를 사용하여 $G \times H$ 위에 이산 외부도함수를 구성하고, de Rham 복합체를 형성한다.
• de Rham 복합체와 윌슨의 단순체 복합체 사이의 체인 호모토피를 확립하여 두 코homology 이론이 동치임을 증명한다.
• 그래프 $G$와 $H$ 위의 조화 형식 $f$와 $g$를 사용하여 $G \times H$ 위의 기저 형식 $f(x) \otimes 1$, $1 \otimes g(y)$, 및 $f(x)g(y)$를 생성한다.
• 코homology 표현형의 명시적 구성을 통해 쿠른트 공식 $H^k(G \times H) \cong \bigoplus_{i+j=k} H^i(G) \otimes H^j(H)$를 증명한다.
• 곱 그래프의 차원이 각 요소의 차원의 점별 합임을 보이며, $G_1 = G \times K_1$가 $G$와 호모토피임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 그래프 코homology에서 쿠른트 공식을 만족하는 그래프 곱이 존재하는가? 이는 연속적인 경우와 유사하다.
• RQ2 곱 그래프 위에서 이산 de Rham 코homology가 체인 호모토피를 통해 단순체 코homology와 동치가 될 수 있는가?
• RQ3 곱 그래프의 차원이 요소들의 차원과 어떻게 관련되어 있으며, 하우스도르프 유사 부등식을 만족하는가?
• RQ4 그래프 곱 $G \times H$의 색칠 수는 얼마이며, $c(G \times H) \leq c(G) + c(H) - 1$을 만족하는가?
• RQ5 이 곱 구성이 경계 연산과 자동형사상군에 대한 몫에 대해 닫혀 있는 그래프의 링으로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 곱 그래프의 푸앵카레 다항식은 $p_{G \times H}(x) = p_G(x) p_H(x)$를 만족하며, $\chi(G \times H) = \chi(G) \chi(H)$이다.
• 곱 그래프의 코homology는 텐서곱 $\bigoplus_{i+j=k} H^i(G) \otimes H^j(H)$와 동형이며, 쿠른트 공식을 만족한다.
• 곱 그래프의 차원은 각 요소의 차원의 점별 합이다: $\dim(G \times H)(x,y) = \dim(G_1)(x) + \dim(H_1)(y)$.
• 곱 그래프의 색칠 수는 최대 $c(G) + c(H) - 1$이며, $G$와 $H$가 모두 3-색칠 가능하고 $K_5$ 부분그래프를 포함할 경우 $c(G \times H) = 5$이다.
• 그래프 곱의 자동형사상군은 $\operatorname{Aut}(G) \times \operatorname{Aut}(H)$를 포함하며, 곱은 호모토피류를 유지한다.
• 경계 연산 $\delta$와 자동형사상군에 대한 몫 $G/A$ ($A \subset \operatorname{Aut}(G)$)에 대해 닫혀 있는 체인의 링으로 확장되며, 이는 그래프 번들의 구성이 가능하게 한다.