[논문 리뷰] The $L_\infty$-deformations of associative Rota-Baxter algebras and homotopy Rota-Baxter operators

Apurba Das, Satyendra Kumar Mishra|arXiv (Cornell University)|2020. 08. 25.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 24인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 바르노프의 유도된 괄호 구성과 마우러-카르탕 원소에 의한 트위스팅을 사용하여 상대 Rota-Baxter 대수의 변형을 제어하는 $L_∞[1]$-대수를 구성한다. 상대 Rota-Baxter 대수에 대한 코homology 이론을 정의하고, 기본 대수-이중모듈러 쌍, Rota-Baxter 연산자, 그리고 전체 구조의 코homology를 연결하는 장점 있는 정렬 시퀀스를 수립한다. 또한 호모토피 Rota-Baxter 연산자와 호모토피 덴드라이프 및 프리-리 대수 사이의 관계를 규명한다.

ABSTRACT

A relative Rota-Baxter algebra is a triple $(A, M, T)$ consisting of an algebra $A$, an $A$-bimodule $M$, and a relative Rota-Baxter operator $T$. Using Voronov's derived bracket and a recent work of Lazarev et al., we construct an $L_\infty [1]$-algebra whose Maurer-Cartan elements are precisely relative Rota-Baxter algebras. By a standard twisting, we define a new $L_\infty [1]$-algebra that controls Maurer-Cartan deformations of a relative Rota-Baxter algebra $(A,M,T)$. We introduce the cohomology of a relative Rota-Baxter algebra $(A, M, T)$ and study infinitesimal deformations in terms of this cohomology (in low dimensions). As an application, we deduce cohomology of coboundary skew-symmetric infinitesimal bialgebras and discuss their infinitesimal deformations. Finally, we define homotopy relative Rota-Baxter operators and find their relationship with homotopy dendriform algebras and homotopy pre-Lie algebras.

연구 동기 및 목표

• 상대 Rota-Baxter 대수의 변형 이론을 $L_\infty$-대수를 사용하여 개발하기 위해.
• 상대 Rota-Baxter 대수에 대한 코homology 이론을 $L_\infty[1]$-대수의 트위스팅을 통해 정의하기 위해.
• 기본 $\mathsf{AssBimod}$-쌍, Rota-Baxter 연산자, 그리고 전체 상대 Rota-Baxter 대수의 코homology를 연결하는 장점 있는 정렬 시퀀스를 수립하기 위해.
• Rota-Baxter 연산자를 호모토피 설정으로 일반화하고, 이를 호모토피 덴드라이프 및 프리-리 대수와 연결하기 위해.
• 이 틀을 코바운드 스케일-대칭 무한소 대수에 적용하여 변형을 연구하기 위해.

제안 방법

• Maurer-Cartan 원소가 $\mathsf{AssBimod}$-쌍 $(A,M)$인 그레이드 리 대수를 구성한 후, 이러한 쌍의 변형을 위한 미분 그레이드 리 대수를 구축한다.
• 바르노프의 고차 유도된 괄호 구성 기법을 적용하여, 그 Maurer-Cartan 원소가 상대 Rota-Baxter 대수 $(A,M,T)$인 $L_\infty[1]$-대수를 구축한다.
• 표준적인 $L_\infty[1]$-대수의 마우러-카르탕 원소에 의한 트위스팅을 사용하여, 고정된 상대 Rota-Baxter 대수의 변형을 제어하는 새로운 $L_\infty[1]$-대수를 얻는다.
• 상대 Rota-Baxter 대수의 코homology를 트위스트된 $L_\infty[1]$-대수의 코homology로 정의한다.
• $(A,M,T)$, $(A,M)$, 그리고 연산자 $T$의 코homology를 연결하는 장점 있는 정렬 시퀀스를 수립한다.
• 호모토피 상대 Rota-Baxter 연산자를 정의하고, 엄격한 경우 이들이 하위접근 구성에 의해 이중모듈러 $M$ 위에 $Dend_\infty[1]$-대수의 구조를 유도함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 하면 그의 마우러-카르탕 원소가 상대 Rota-Baxter 대수인 $L_\infty[1]$-대수를 구성할 수 있는가?
• RQ2 상대 Rota-Baxter 대수에 대한 코homology 이론은 무엇이며, 미세한 변형을 어떻게 제어하는가?
• RQ3 기본 $\mathsf{AssBimod}$-쌍, Rota-Baxter 연산자, 그리고 전체적인 구조의 코homology는 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 호모토피 상대 Rota-Baxter 연산자와 호모토피 덴드라이프 또는 프리-리 대수 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 코바운드 스케일-대칭 무한소 대수는 $r$-행렬로부터 어떻게 유도되며, 그들의 변형은 어떻게 규정되는가?

주요 결과

• 바르노프의 유도된 괄호 구성과 이전에 존재하는 $\mathsf{AssBimod}$-쌍을 위한 $L_\infty[1]$-대수를 사용하여, 정확히 상대 Rota-Baxter 대수 $(A,M,T)$의 마우러-카르탕 원소인 $L_\infty[1]$-대수가 구성된다.
• 기존의 $L_\infty[1]$-대수의 마우러-카르탕 원소에 의한 트위스팅을 통해 새로운 $L_\infty[1]$-대수를 얻었으며, 이는 고정된 상대 Rota-Baxter 대수의 변형을 제어한다.
• 상대 Rota-Baxter 대수의 코homology는 트위스트된 $L_\infty[1]$-대수의 코homology로 정의되며, 미세한 변형은 그의 두 번째 코homology 공간으로 분류된다.
• 기본 $\mathsf{AssBimod}$-쌍 $(A,M)$, Rota-Baxter 연산자 $T$, 그리고 전체 상대 Rota-Baxter 대수 $(A,M,T)$의 코homology를 연결하는 장점 있는 정렬 시퀀스가 수립된다.
• 엄격한 호모토피 상대 Rota-Baxter 연산자는 하위접근 구성에 의해 이중모듈러 $M$ 위에 $Dend_\infty[1]$-대수의 구조를 유도하며, 이 구조의 사상은 $\mu_{k,[r]}(u_1,\ldots,u_k) = \eta_k(Tu_1,\ldots,u_r,\ldots,Tu_k)$로 주어진다.
• 이중모듈러 $M$ 위에 $A_\infty[1]$-대수와 $L_\infty[1]$-대수의 구조로부터 기인한 하위접근 $pre$-$Lie_\infty[1]$-대수의 구조가 일치함을 증명하여, 구성의 일관성을 입증한다.