[논문 리뷰] The Lambda-Fleming-Viot process and a connection with Wright-Fisher diffusion

Robert Griffiths|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 04.

Stochastic processes and statistical mechanics인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $\Lambda$-Fleming-Viot 과정과 Wright-Fisher 확산 간의 새로운 연결 고리를 설정하며, 이 과정의 생성자를 랜덤 선형 변수를 포함한 수정된 Wright-Fisher 생성자로 표현함으로써 다항식 테스트 함수를 통해 고유값과 고유벡터를 명시적으로 계산할 수 있도록 한다. 주요 결과로는 선택 계수가 임계 임계값을 초과할 경우 유전자 선택 하에서 고정이 확실시됨을 분석적으로 증명하는 것이다.

ABSTRACT

The d-dimensional Lambda-Fleming-Viot generator acting on functions g(x), with x being a vector of d allele frequencies, can be written as a Wright-Fisher generator acting on functions g with a modified random linear argument of x induced by partitioning occurring in the Lambda-Fleming-Viot process. The eigenvalues and right polynomial eigenvectors are easy to see from this representation. The two-dimensional process, which has a one-dimensional generator, is considered in detail. A non-linear equation is found for the Green's function. In a model with genic selection a proof is given that there is a critical selection value such that if the selection coefficient is greater or equal to the critical value then fixation, when the boundary 1 is hit, has probability 1 beginning from any non-zero frequency. This is an analytic proof different from proofs by Der, Epstein and Plotkin (2011) and Foucart (2013). When fixation is not certain the fixation probability can be computed from an algorithm in the paper. An application in the infinitely-many-alleles Lambda-Fleming-Viot process is finding an interesting identity for the frequency spectrum of alleles that is based on size-biassing. The moment dual process in the Fleming-Viot process is the usual Lambda-coalescent tree back in time. The Wright-Fisher representation using a different set of polynomials g_n(x) as test functions produces a dual death process which has a similarity to the Kingman coalescent and decreases by units of one. The eigenvalues of the process are analogous to the Jacobi polynomials when expressed in terms of g_n(x), playing the role of x^n. E[g_n(X)] under the stationary distribution when there is mutation is analogous to the n th moment in a Beta distribution. There is a version g_n(X), when X and n are d-dimensional, and even an intriguing Ewens' sampling formula analogy when d tends to infinity.

연구 동기 및 목표

• 수정된 생성자 표현을 통해 $\Lambda$-Fleming-Viot 과정과 Wright-Fisher 확산 간의 기능적 연결 고리를 수립하기.
• Wright-Fisher 유형의 프레임워크를 사용하여 $\Lambda$-Fleming-Viot 생성자의 고유값과 다항식 고유벡터에 대한 명시적 표현을 유도하기.
• 유전자 선택 하에서 고정 확률을 분석하고, 선택 계수가 임계 값 이상일 경우 고정이 확률 1로 발생함을 증명하기.
• 기존의 $\Lambda$-Fleming-Viot 과정과 $\Lambda$-공진산 간의 모멘트 이중성 관계를 다중형질 및 무한한 악기 설정으로 확장하기.
• 크기-편향된 빈도 스펙트럼을 기반으로 무한한 악기 $\Lambda$-Fleming-Viot 과정에서 일반화된 Ewens의 표본 공식 유사 형태를 도출하기.

제안 방법

• 측도 $\Lambda$ 에서 유도된 랜덤 변수 $W$ 를 포함한 변환된 변수에 대해 $d$-차원 $\Lambda$-Fleming-Viot 생성자를 Wright-Fisher 생성자로 표현하기.
• 모멘트 이중성 관계를 활용하기 위해 다항식 테스트 함수 $g_n(x)$ 와 그 다중형질 확장 $g_{\bm{n}}(\bm{x})$ 를 사용하며, 이는 $\Lambda$-공진산의 죽음 과정과 이중성을 가진다.
• 이중성 관계 $\mathbb{E}_{\bm{X}(0)=\bm{x}}[h_{\bm{n}}(\bm{X}(t))] = \mathbb{E}_{\bm{N}(0)=\bm{n}}[h_{\bm{N}(t)}(\bm{x})]$ 를 적용하여 기대값과 고유값을 계산하기.
• 정적 분포의 모멘트를 $\mathbb{E}[(1-W)^{j-2}]$ 와 선택 매개변수 $\theta_i$ 를 포함한 곱의 공식을 통해 유도하며, 이는 베타 분포 모멘트의 일반화이다.
• 전이 확률이 $\frac{n_i}{n} \big( (n-1)\mathbb{E}[(1-W)^{n-2}] + \theta \big)$ 비례하는 이중 죽음 과정을 구성하며, 이는 Kingman의 공진산과 유사하다.
• 다음과 같은 극한 표본 공식을 도출한다: $d \to \infty$ 일 때, $\Lambda$-공진산의 크기-편향된 구조를 통합함으로써 Ewens의 표본 공식을 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선택 계수가 임계값 이상일 경우, $\Lambda$-Fleming-Viot 생성자는 랜덤 선형 변수를 포함한 수정된 Wright-Fisher 생성자로 표현될 수 있는가?
• RQ2 이 표현 하에서 $\Lambda$-Fleming-Viot 과정의 고유값과 다항식 고유벡터는 무엇인가?
• RQ3 유전자 선택 하에서 $\Lambda$-Fleming-Viot 과정에서 어떤 조건에서 고정이 확실시되는가?
• RQ4 기존의 $\Lambda$-Fleming-Viot 과정과 $\Lambda$-공진산 간의 모멘트 이중성은 다중형질 및 무한한 악기 모델로 어떻게 일반화되는가?
• RQ5 무한한 악기 $\Lambda$-Fleming-Viot 과정에서의 유전자 빈도 표본 공식의 극한 형태는 무엇인가?

주요 결과

• $\Lambda$-Fleming-Viot 생성자는 악기 빈도 벡터의 랜덤 선형 변환에 작용하는 Wright-Fisher 생성자로 표현될 수 있으며, 이는 고유값과 고유벡터의 명시적 계산을 가능하게 한다.
• 두 차원의 경우, 그린 함수에 대한 비선형 방정식이 유도되며, 이는 향후 명시적 해법을 위한 길을 열어준다.
• 선택 계수가 임계값 이상일 경우, 초기 비영 빈도에 관계없이 고정이 확률 1로 발생함을 분석적으로 증명하였다.
• 정적 분포의 모멘트 $\mathbb{E}[g_n(X)]$ 는 $\mathbb{E}[(1-W)^{j-2}]$ 와 선택 매개변수 $\theta_i$ 를 포함한 곱의 형태로 표현되며, 이는 베타 분포 모멘트의 일반화이다.
• 다중형질의 경우, 모멘트 생성 함수 $\mathbb{E}[g_{\bm{n}}(\bm{X})]$ 는 $j=1$ 에서 $n_i$ 까지 및 $j=1$ 에서 $n$ 까지의 곱의 비율 형태로 주어지며, Ewens의 표본 공식과 유사한 구조를 가진다.
• $d \to \infty$ 일 때의 극한에서, 표본 공식은 $\mathbb{E}[(1-W)^{j-2}]$ 를 포함한 일반화된 형태로 수렴하며, $W \equiv 0$ 일 경우 고전적인 Ewens의 공식으로 줄어든다.