[논문 리뷰] The Laplacian polynomial of graphs derived from regular graphs and applications

Jia‐Bao Liu, Xiang-Feng Pan외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 11. 20.

Graph theory and applications참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 정규 그래프 G의 각 간선과 정점이 삼각형으로 변환되는 새로운 그래프 연산 RT(G)에 대해 라플라시안 다항식과 킬히호프 지수 공식을 유도한다. 스펙트럴 그래프 이론과 슈어 여인수 기법을 사용하여 Kf(RT(G))를 Kf(G), 정점 수, 차수에 대한 명시적 공식과 날카운 상한을 도출한다. 주요 기여는 Kf(RT(G))에 대한 닫힌 형태의 표현식을 제시한 것으로, 완전 그래프, 사이클, 완전 이분 그래프에서 검증되었다.

ABSTRACT

Let $R(G)$ be the graph obtained from $G$ by adding a new vertex corresponding to each edge of $G$ and by joining each new vertex to the end vertices of the corresponding edge. Let $RT(G)$ be the graph obtained from $R(G)$ by adding a new edge corresponding to every vertex of $G$, and by joining each new edge to every vertex of $G$. In this paper, we determine the Laplacian polynomials of $RT(G)$ of a regular graph $G$. Moreover, we derive formulae and lower bounds of Kirchhoff index of the graphs. Finally we also present the formulae for calculating the Kirchhoff index of some special graphs as applications, which show the correction and efficiency of the proposed results.

연구 동기 및 목표

• 정규 그래프 G의 각 간선과 정점을 삼각형으로 변환하는 새로운 그래프 연산 RT(G)를 정의하고 분석한다.
• 스펙트럴 그래프 이론을 사용하여 정규 그래프의 RT(G)에 대한 라플라시안 다항식을 구한다.
• RT(G)의 킬히호프 지수에 대한 명시적 공식과 하한을 유도한다.
• 완전 그래프, 사이클, 완전 이분 그래프와 같은 특수 그래프에서 결과를 검증한다.

제안 방법

• RT(G)를 R(G) (간선-삼각형 변환)를 먼저 적용한 후, 각 정점마다 새로운 간선을 추가하여 양 끝점을 신규 간선의 정점들과 연결한 그래프로 정의한다.
• 슈어 여인수 방법을 사용하여 원래 정규 그래프 G의 고유값과 다항식을 기반으로 RT(G)의 라플라시안 고유값과 다항식을 계산한다.
• 정규 그래프의 알려진 라플라시안 스펙트럼과 RT(G)의 구조를 활용하여 L(RT(G))의 특성 다항식을 도출한다.
• 비영인 라플라시안 고유값과 모어-펜로즈 역행렬의 트레이스를 이용한 킬히호프 지수 공식을 적용한다.
• G와 RT(G)의 라플라시안 고유값 간의 관계를 활용하여 Kf(RT(G))를 Kf(G), n(정점 수), r(정점 차수)의 함수로 표현한다.
• 기존 Kf(G)의 하한과 유도된 공식을 사용하여 Kf(RT(G))에 대한 하한을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 G가 정규 그래프일 때 RT(G)의 라플라시안 다항식은 무엇인가?
• RQ2 원래 정규 그래프 G의 킬히호프 지수와 매개변수를 기반으로 RT(G)의 킬히호프 지수는 어떻게 표현할 수 있는가?
• RQ3 n과 r에 대한 RT(G)의 킬히호프 지수에 대해 가장 날카운 하한은 무엇인가?
• RQ4 유도된 공식은 완전 그래프 Kn, 사이클 Cn, 이분 그래프 Kn,n와 같은 특정 정규 그래프 계열에서 어떻게 작동하는가?
• RQ5 작은 그래프에서 저항 거리 계산을 통해 Kf(RT(G))의 공식을 독립적으로 검증할 수 있는가?

주요 결과

• n개의 정점과 r-정규 그래프 G에 대해 RT(G)의 킬히호프 지수는 Kf(RT(G)) = ((r+6)²/6)Kf(G) + ((r+5)n)/2 + ((r+6)(5n-4)n)/6 + ((r-2)(r+6)n²)/8 로 주어진다.
• G ≅ K₂일 경우 공식은 Kf(RT(K₂)) = 74/3을 도출하며, 직접적인 저항 거리 계산과 일치한다.
• G ≅ C₃일 경우 공식은 Kf(RT(C₃)) = 455/6을 도출하며, 명시적 계산과 일치한다.
• Kf(RT(G))의 하한은 Kf(RT(G)) ≥ ((r+6)²(n²−n−r))/(6r) + ((r+5)n)/2 + ((r+6)(5n−4)n)/6 + ((r−2)(r+6)n²)/8 로 주어지며, 등호는 G ≅ Kn 또는 G ≅ Kn/2,n/2 (n이 짝수일 때)일 경우에만 성립한다.
• Kf(RT(Kn))의 공식은 Kf(RT(Kn)) = ((r+6)²(n−1))/6 + ((r+5)n)/2 + ((r+6)(5n−4)n)/6 + ((r−2)(r+6)n²)/8 로 주어지며, 여기서 r = n−1 이다.
• Kf(RT(Kn,n))의 공식은 Kf(RT(Kn,n)) = ((r+6)²(4n−3))/6 + (r+5)n + ((r+6)(10n−4)n)/3 + ((r−2)(r+6)n²)/2 로 주어지며, 여기서 r = n 이다.