[논문 리뷰] The logarithmic least squares optimality of the geometric mean of weight vectors calculated from all spanning trees for (in)complete pairwise comparison matrices

Sándor Bozóki, Vitaliy Tsyganok|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 16.

Multi-Criteria Decision Making참고 문헌 47인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 쌍대 비교 행렬(완전하거나 부분적인 경우 모두 포함)의 모든 스패닝 트리에서 유도된 가중치 벡터의 기하 평균이 로그 최소 제곱 문제의 최적 해를 제공함을 입증한다. 이 방법은 사전에 거리 척도를 가정하지 않고 스패닝 트리를 활용하여 최적화를 수행하며, 모든 이러한 행렬에서 로그 최소 제곱 오차의 유일한 최소화자를 기하 평균이 제공함을 증명한다.

ABSTRACT

Pairwise comparison matrices, a method for preference modelling and quantification in multi-attribute decision making and ranking problems, are naturally extended to the incomplete case, offering a wider range of applicability. The weighting problem is to find a weight vector that reflects the decision maker's preferences as well as possible. The logarithmic least squares problem has a unique and simply computable solution. The spanning tree approach does not assume any metric in advance, instead it goes through all minimal sufficient subsets (spanning trees) of the set of pairwise comparisons, then the weight vectors are aggregated. It is shown that the geometric mean of weight vectors, calculated from all spanning trees, is the optimal solution of the well known logarithmic least squares problem, not only for complete, as it was recently proved by Lundy, Siraj and Greco, but for incomplete pairwise comparison matrices as well.

연구 동기 및 목표

• 결정자가 쌍대 비교를 통해 선호도를 표현하는 가중치 문제를 다루기 위해.
• 실제 의사결정에서 흔히 발생하는 부분적인 행렬로도 로그 최소 제곱 방법의 적용 범위를 확장하기 위해.
• 모든 스패닝 트리에서 유도된 가중치 벡터의 기하 평균이 로그 최소 제곱 기준 하에 최적 해를 제공함을 보여주기 위해.
• 스패닝 트리 기반 가중치 부여의 이론적 기반을 잘 알려진 로그 최소 제곱 방법과 통합하여, 완전한 경우와 부분적인 경우 모두에서 동치임을 보여주기 위해.

제안 방법

• 쌍대 비교 행렬의 그래프 표현에서 모든 스패닝 트리를 구성하며, 이때 노드는 대안을 나타내고, 간선은 쌍대 비교를 나타낸다.
• 각 스패닝 트리에 대해, 트리의 구조 내에서 일관성을 확보하기 위해 로그 최소 제곱 접근법을 사용해 가중치 벡터를 계산한다.
• 최종 가중치 벡터는 스패닝 트리에서 유도된 모든 개별 가중치 벡터의 기하 평균으로 구한다.
• 이 방법은 사전 정의된 척도를 필요로 하지 않으며, 대신 최소한의 충분한 부분집합(스패닝 트리)의 조합적 열거에 의존한다.
• 이론적 분석을 통해 이 기하 평균 벡터가 모든 가능한 가중치 벡터 중에서 로그 최소 제곱 오차 함수를 최소화함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 스패닝 트리에서 유도된 가중치 벡터의 기하 평균이 부분적인 쌍대 비교 행렬에 대해 로그 최소 제곱 문제를 해결하는가?
• RQ2 스패닝 트리 방법이 완전한 행렬을 초월하여도 로그 최소 제곱 기준 하에서 최적성을 유지할 수 있는가?
• RQ3 기하 평균 벡터가 부분적인 행렬의 맥락에서 로그 최소 제곱 오차의 유일한 최소화자인가?
• RQ4 스패닝 트리 접근법은 이론적 최적성과 계산 가능성을 고려할 때 다른 가중치 부여 방법과 비교해 어떻게 다른가?

주요 결과

• 모든 스패닝 트리에서 유도된 가중치 벡터의 기하 평균은 완전하거나 부분적인 쌍대 비교 행렬에 대해 로그 최소 제곱 오차를 최소화하는 유일한 해이다.
• 이 방법은 사전에 거리 척도를 가정하지 않고, 스패닝 트리의 조합적 성질에만 의존하여 최적성을 달성한다.
• 이전에는 완전한 행렬에 대해서만 증명된 결과를 부분적인 행렬로 확장하여 동일한 최적성을 입증함으로써 이전 결과를 일반화한다.
• 스패닝 트리 접근법은 선호도 모델링에서 전통적 가중치 부여 방법에 대한 이론적으로 타당하고 계산적으로 실현 가능한 대안을 제공한다.