[논문 리뷰] The Matsumoto and Yor process and infinite dimensional hyperbolic space

Philippe Bougerol|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 09.

Random Matrices and Applications참고 문헌 24인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 브라운 운동 $B_t$ 에 대해 정의된 매츠모토–요르 과정 $\eta_t = \int_0^t e^{2B_s - B_t}\,ds$ 가 초구형 공간 $\mathbb{H}_q$ 상에서 브라운 운동의 반경 성분으로서, $q \to \infty$ 의 극한에서 나타남을 규명한다. 또한 이 결과를 고립계수를 고정한 채 $q \to \infty$ 의 극한에서 무한차원 대칭 공간 $SU(p,q)$, $SO(p,q)$, $Sp(p,q)$ 로 일반화하며, 정규 트리 $\mathbb{T}_q$ 상에서 이산 피트만 유형 과정으로 수렴함을 보이며, 매츠모토–요르 과정의 마코비안성에 기하학적 해석을 제공한다.

ABSTRACT

The Matsumoto\,--Yor process is $\int\_0^t \exp(2B\_s-B\_t)\, ds$, where $(B\_t)$ is a Brownian motion. It is shown that it is the limit of the radial part of the Brownian motion at the bottom of the spectrum on the hyperbolic space of dimension $q$, when $q$ tends to infinity. Analogous processes on infinite series of non compact symmetric spaces and on regular trees are described.

연구 동기 및 목표

• 매츠모토–요르 과정이 $q \to \infty$ 의 극한에서 초구형 공간 $\mathbb{H}_q$ 상 브라운 운동의 반경 성분으로서 기하학적 해석을 제공하는 것.
• 고립계수 $p$ 를 고정한 채 $q \to \infty$ 의 극한에서 이 결과를 고계수 대칭 공간 $SU(p,q)$, $SO(p,q)$, $Sp(p,q)$ 로 확장하는 것.
• $SU(p,q)$ 상의 극한 과정의 생성자를 구하기 위해 구면 함수의 渐近 분석을 통한 유도.
• 정규 트리 $\mathbb{T}_q$ 상에서 단순 랜덤 워크의 반경 성분이 $q \to \infty$ 의 극한에서 이산 피트만 과정으로 수렴함을 보여 이원적 해석을 확립하는 것.

제안 방법

• 초구형 공간 $\mathbb{H}_q$ 의 초구면 및 상부 반공간 모델을 사용하여 브라운 운동의 반경 성분을 극좌표계로 표현한다.
• 카르탕 및 아이와사 분해를 적용하여 대칭 공간 $G/K$ 상 브라운 운동을 분석하고 반경 성분을 추출한다.
• 하리시-찬드라의 전개 및 $c$-함수를 이용한 구면 함수 $\varphi_\lambda$ 의 渐近 분석을 통해 $q \to \infty$ 의 극한을 연구한다.
• $SU(p,q)$ 상의 극한 과정의 생성자를 라플라스–베르트라미 연산자의 반경 성분의 점근적 성질을 분석함으로써 도출한다.
• 인조메츠프 극한을 사용하여 반경 과정을 양자 토다 해밀토니안 $H_T = \frac{d^2}{dr^2} - e^{-2r}$ 와 연결한다.
• 몬텔 정리와 $\lambda g_q(\lambda,r)$ 의 균일 수렴성을 활용하여 $q \to \infty$ 일 때 $g_q(\lambda,r) \to 0$ 임을 증명함으로써, 마콘달 함수 $K_\lambda(e^{-r})$ 로의 수렴을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매츠모토–요르 과정 $\eta_t = \int_0^t e^{2B_s - B_t}\,ds$ 는 $q \to \infty$ 의 극한에서 초구형 공간 $\mathbb{H}_q$ 상 브라운 운동의 반경 성분으로 나타나는가?
• RQ2 고립계수 $p$ 를 고정한 채 $q \to \infty$ 의 극한에서 $SU(p,q)$ 상의 극한 반경 과정의 생성자는 무엇인가?
• RQ3 $SO(p,q)$ 와 $Sp(p,q)$ 상 브라운 운동의 반경 성분은 동일한 극한에서 어떻게 행동하는가?
• RQ4 정규 트리 $\mathbb{T}_q$ 상에서 매츠모토–요르 과정의 이산적 유사체를 구성할 수 있으며, $q \to \infty$ 의 극한에서 수렴하는가?
• RQ5 구면 함수와 $c$-함수는 대칭 공간 상 반경 과정의 점근적 분석에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 매츠모토–요르 과정 $\eta_t = \int_0^t e^{2B_s - B_t}\,ds$ 는 $q \to \infty$ 의 극한에서 $\mathbb{H}_q$ 상 브라운 운동의 반경 성분의 극한으로 나타나며, 이는 그 마코비안 성질의 기하학적 기원을 제공한다.
• $\log \eta_t$ 의 생성자는 $\frac{1}{2}\frac{d^2}{dr^2} + \left(\frac{d}{dr}\log K_0(e^{-r})\right)\frac{d}{dr}$ 이며, 여기서 $K_0$ 는 마콘달 함수이다.
• $SU(p,q)$ 에서 극한 반경 과정의 생성자는 구면 함수의 점근적 행동에서 유도되며, $q \to \infty$ 의 극한에서 양자 토다 해밀토니안 $H_T = \frac{d^2}{dr^2} - e^{-2r}$ 로 수렴한다.
• 정규 트리 $\mathbb{T}_q$ 상 단순 랜덤 워크의 반경 성분은 확률적으로 $q \to \infty$ 의 극한에서 이산 피트만 과정 $2\max_{0\leq k\leq n}\Sigma_k - \Sigma_n$ 으로 수렴한다. 여기서 $\Sigma_n$ 은 $\mathbb{Z}$ 상 단순 랜덤 워크이다.
• 차이 $g_q(\lambda,r) = a(q)(\delta_q^{1/2}\tilde{\varphi}_\lambda)(\log m_\alpha + r) - K_\lambda(e^{-r})$ 는 $q \to \infty$ 의 극한에서 $\lambda$ 와 $r$ 에 대해 균일하게 0으로 수렴하며, $\lambda g_q(\lambda,r)$ 의 모든 도함수는 극한에서 0이 된다.
• 단일 랭크 상의 구면 함수 $\varphi_\lambda$ 의 점근 전개는 $\lim_{q\to\infty} \frac{1}{m_\alpha^\lambda} \Psi_{CMS}(\lambda,q,r + \log m_\alpha) = \Psi_T(\lambda,r)$ 를 유도하며, 이는 $CMS$ 해밀토니안과 토다 해밀토니안을 연결한다.