[논문 리뷰] The Mirkovic-Vilonen basis and Duistermaat-Heckman measures

Pierre Baumann, Joel Kamnitzer외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 21.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 71인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 단순군 $G$ 의 유니포텐트 부분군 $N$ 의 좌표환 $\mathbb{C}[N]$ 에 대한 Mirković–Vilonen (MV) 기저가 양방향 완전(biperfect)임을 증명한다. 즉, Chevalley 생성자에 대한 작용과 호환됨을 의미한다. 아핀 및 Beilinson–Drinfeld Grassmannian에서의 교차 이론과 기하학적 Satake 대응을 사용하여, 저자들은 낮은 계수에서는 MV 기저가 Lusztig의 이중 준원형 기저와 일치하지만, $SL_6$ 에서는 그렇지 않음을 증명한다. 이는 Duistermaat–Heckman 측도와 전위상 대수 모듈을 통해 오랫동안 남아있던 추측을 해결한 것이다.

ABSTRACT

Using the geometric Satake correspondence, the Mirkovic-Vilonen cycles in the affine Grasssmannian give bases for representations of a semisimple group G . We prove that these bases are "perfect", i.e. compatible with the action of the Chevelley generators of the positive half of the Lie algebra g. We compute this action in terms of intersection multiplicities in the affine Grassmannian. We prove that these bases stitch together to a basis for the algebra C[N] of regular functions on the unipotent subgroup. We compute the multiplication in this MV basis using intersection multiplicities in the Beilinson-Drinfeld Grassmannian, thus proving a conjecture of Anderson. In the third part of the paper, we define a map from C[N] to a convolution algebra of measures on the dual of the Cartan subalgebra of g. We characterize this map using the universal centralizer space of G. We prove that the measure associated to an MV basis element equals the Duistermaat-Heckman measure of the corresponding MV cycle. This leads to a proof of a conjecture of Muthiah. Finally, we use the map to measures to compare the MV basis and Lusztig's dual semicanonical basis. We formulate conjectures relating the algebraic invariants of preprojective algebra modules (which underlie the dual semicanonical basis) and geometric invariants of MV cycles. In the appendix, we use these ideas to prove that the MV basis and the dual semicanonical basis do not coincide in SL_6.

연구 동기 및 목표

• MV 기저가 $\mathbb{C}[N]$ 에서 biperfect임을 증명하는 것, 즉 Chevalley 생성자 $e_i$ 의 좌우 작용과 호환됨을 의미함.
• Beilinson–Drinfeld Grassmannian에서의 교차 다중도를 사용하여 MV 기저의 곱셈을 기하학적으로 기술하는 것. 이는 Anderson의 추측을 확인함.
• Cartan 부분대수의 쌍대에 대한 측도로 $\mathbb{C}[N]$ 에서의 사상 정의를 하고, MV 기저 원소의 이미지가 그에 해당하는 Duistermaat–Heckman 측도와 일치함을 증명하는 것.
• 측도와 기하학적 불변량을 사용하여 MV 기저와 Lusztig의 이중 준원형 기저를 비교하고, $SL_6$ 에서는 이들이 일치하지 않음을 증명하는 것.
• 전위상 대수 모듈의 대수적 불변량과 MV 사이클의 기하학적 불변량을 연결하는 추측을 제시하는 것.

제안 방법

• 기하학적 Satake 대응을 사용하여 아핀 Grassmannian에서의 MV 사이클을 이용해 $\mathbb{C}[N]$ 의 기저를 구성함.
• Chevalley 생성자에 의한 MV 기저 작용은 아핀 Grassmannian에서의 교차 다중도를 통해 계산됨.
• Beilinson–Drinfeld Grassmannian에서의 교차 이론을 사용하여 MV 기저의 곱셈을 기술함으로써 Anderson의 추측을 확인함.
• 일반화된 중심자 공간을 사용하여 $\mathbb{C}[N]$ 에서 쌍대 Cartan 부분대수 위의 측도의 복합 대수로의 사상 구축.
• MV 사이클의 Duistermaat–Heckman 측도가 그에 해당하는 MV 기저 원소와 관련된 측도와 일치함을 증명함으로써 Muthiah의 추측을 증명함.
• MV 사이클과 $\Lambda$-모듈(전위상 대수 표현)에서 유도된 측도를 비교하여 $SL_6$ 에서 MV 기저와 이중 준원형 기저가 일치하지 않음을 보임.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Mirković–Vilonen 기저는 $\mathbb{C}[N]$ 에서 biperfect인가? 즉, Chevalley 생성자 $e_i$ 의 작용과 호환되는가?
• RQ2 Anderson가 추측한 바와 같이, MV 기저의 곱셈 규칙은 Beilinson–Drinfeld Grassmannian에서의 교차 다중도로부터 유도되는가?
• RQ3 MV 기저 원소와 관련된 측도는 그에 해당하는 MV 사이클의 Duistermaat–Heckman 측도와 같은가?
• RQ4 $SL_6$ 에서 Mirković–Vilonen 기저와 Lusztig의 이중 준원형 기저는 일치하는가?
• RQ5 전위상 대수 모듈의 대수적 불변량은 MV 사이클의 기하학적 불변량과 관련이 있는가?

주요 결과

• MV 기저가 $\mathbb{C}[N]$ 에서 biperfect임을 증명하였으며, $e_i$ 의 작용은 아핀 Grassmannian에서의 교차 다중도를 통해 계산됨.
• MV 기저의 곱셈 규칙이 Beilinson–Drinfeld Grassmannian에서의 교차 다중도에 의해 결정됨을 확인하여 Anderson의 추측을 증명함.
• MV 기저 원소와 관련된 측도가 그에 해당하는 MV 사이클의 Duistermaat–Heckman 측도와 일치함을 증명하여 Muthiah의 추측을 증명함.
• $SL_6$ 에서 MV 기저와 이중 준원형 기저는 서로 다름을 입증함. 이는 다중도의 차이로 나타남: $\overline{D}(b_Z) = \overline{D}(\xi_{M_{a}\oplus M_{a'}}) - 2\overline{D}(\xi_{I(\omega_2+\omega_4)})$.
• 다중도 $\overline{D}(b_Z)$ 를 계산하기 위해, $\tau = \young(1133,2255,44,66)$ 에 대응하는 MV 사이클 $Z_{\tau}$ 는 24개 변수에서의 소수 이상의 이상을 정의하는 일반화된 궤도 다양체를 가짐.
• 컴퓨터 보조 기술을 사용하여 $Z_{\tau}$ 의 정의 아이디얼을 기술함으로써, $SL_6$ 에서 MV 기저와 이중 준원형 기저가 일치하지 않음을 확인함.