[논문 리뷰] Coulomb branches of $3d$ $\mathcal N=4$ quiver gauge theories and slices in the affine Grassmannian (with appendices by Alexander Braverman, Michael Finkelberg, Joel Kamnitzer, Ryosuke Kodera, Hiraku Nakajima, Ben Webster, and Alex Weekes)

Alexander Braverman, Michael Finkelberg외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 13.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 51인용 수 63

한 줄 요약

이 논문은 3차원 $\mathcal{N}=4$ $ADE$ 유형의 퀘이버 게이지 이론의 쿨롱 브랜치와 기저를 가진 분수 지도의 모듈리 공간(비틀어지지 않은 경우) 및 아핀 그라스만이안의 조각(틀린 경우) 사이에 정확한 수학적 동형사상이 있음을 증명한다. 평탄성 기준과 인수성 성질을 사용하여, 쿨롱 브랜치가 $\hat{Z}^\alpha$와 동형임을 증명하고, 쿨롱 브랜치의 양자화된 형태가 카른니체르 등이 기입한 부록을 통해 잘라낸 이동 양얀(Yangian)과 일치함을 규명한다.

ABSTRACT

This is a companion paper of arXiv:1601.03586. We study Coulomb branches of unframed and framed quiver gauge theories of type $ADE$. In the unframed case they are isomorphic to the moduli space of based rational maps from ${\mathbb C}P^1$ to the flag variety. In the framed case they are slices in the affine Grassmannian and their generalization. In the appendix, written jointly with Joel Kamnitzer, Ryosuke Kodera, Ben Webster, and Alex Weekes, we identify the quantized Coulomb branch with the truncated shifted Yangian.

연구 동기 및 목표

• 3차원 $\mathcal{N}=4$ $ADE$ 유형의 퀘이버 게이지 이론에 대해 쿨롱 브랜치 $Μ_C$ 의 수학적으로 엄밀한 기술을 제공한다.
• 비틀어지지 않은 경우에 쿨롱 브랜치와 기저를 가진 분수 지도 $G/B$ 로의 모듈리 공간 사이의 동형사상을 확립한다.
• 틀린 경우에 쿨롱 브랜치를 랑랜즈 이중군의 아핀 그라스만이안의 조각으로 식별하여 이전의 물리적 추측을 일반화한다.
• 양자화된 쿨롱 브랜치가 잘라낸 이동 양얀과 동형임을 증명한다. 이는 부록에서 확인된다.

제안 방법

• 평탄성 기준을 사용한다: 만약 코hen-맥올레이 아핀 다양체 $Ω$ 가 $τ(V)/Ω$ 에 평탄하게 매핑되고, $Μ_C$ 와의 이분기적 동형사상이 2차원 이하의 여부에서 이원적으로 정의된다면, 그 동형사상은 전반적으로 확장된다.
• 모듈리 공간 $\hat{Z}^\alpha$ 의 인수성 성질을 활용하여, 초평면을 넘어선 이분기적 사상의 확장을 검증한다.
• 두 다양체가 일반 루트 초평면의 여부에서 $T^*T(V)^\vee / Ω$ 와 이분기적으로 동형임을 이용하여, $\hat{Z}^\alpha$ 와 $Μ_C$ 사이의 이분기적 사상 $Ω^\circ$ 를 구성한다.
• 기준을 적용하기 위해, 인수성에 의해 초평면의 일반 점에서의 확장을 확인하고, 문제를 국소 분석으로 환원한다.
• 아핀 그라스만이안의 구조와 $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 상의 $G$- bundles 기하학을 이용하여, 틀린 쿨롱 브랜치를 부분적으로 컴actification으로 기술한다.
• 부록에서, 아핀 리 대수의 표현 이론과 $\hat{G}_{\mathcal{O}}$--equivariant 코homology 를 사용하여, 양자화된 쿨롱 브랜치를 잘라낸 이동 양얀과 식별한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3차원 $\mathcal{N}=4$ 퀘이버 게이지 이론의 $ADE$ 유형에서 쿨롱 브랜치는 기저를 가진 분수 지도 $G/B$ 로의 모듈리 공간과 동형인가?
• RQ2 틀린 쿨롱 브랜치는 랑랜즈 이중군의 아핀 그라스만이안의 조각으로 식별될 수 있는가?
• RQ3 틀린 경우에 양자화된 쿨롱 브랜치는 잘라낸 이동 양얀과 일치하는가?
• RQ4 $\hat{Z}^\alpha$ 의 인수성 성질이 이분기적 사상이 전역 동형사상으로 확장되는 데 어떻게 기여하는가?
• RQ5 쿨롱 브랜치와 $\mathbb{R}^3$ 상의 $G_c$-모노폴의 모듈리 공간 사이의 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 비틀어지지 않은 $ADE$ 퀘이버 게이지 이론의 쿨롱 브랜치 $Μ_C$ 는 $\hat{Z}^\alpha$ 와 동형이며, 이는 $\mathbb{P}^1 \to G/B$ 의 차수 $\alpha$ 를 가진 기저를 가진 분수 지도의 모듈리 공간이다. 여기서 $\alpha$ 는 퀘이버 표현의 차원 벡터에 의해 결정된다.
• 틀린 경우, $Μ_C$ 는 랑랜즈 이중군 $\hat{G}$ 의 아핀 그라스만이안의 조각과 동형이며, 이는 이전의 물리적 추측을 일반화한다.
• 양자화된 쿨롱 브랜치는 잘라낸 이동 양얀과 동형이며, 부록에서 $\hat{G}_{\mathcal{O}}$-equivariant 코homology 와 영점 단면으로의 제약 사상 ${\mathbf{z}}^*$ 를 통해 확인된다.
• 동형사상 $\hat{Z}^\alpha$ 와 $Μ_C$ 는 평탄성 기준을 통해 확립되며, 인수성과 2차원 이하 분석을 통해 이분기적 사상의 확장을 검증한다.
• 틀린 쿨롱 브랜치는 정규성(현재 $A$ 형에 대해서만 알려져 있음)을 가정할 경우, $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 상의 파라보릭 틀린 $G$-bundles 의 모듈리 공간의 부분적 컴actification임을 보였다.
• 동형사상의 증명은 코homology 링의 ${\mathbf{t}}$-변형의 자명성에 기반하며, 이는 웨일 커버 성질에서 유도되고, 일반 섹션에서의 사상의 상사상성은 변형 방법으로 증명된다.