[논문 리뷰] The modified indeterminate couple stress model: Why Yang et al.'s arguments motivating a symmetric couple stress tensor contain a gap and why the couple stress tensor may be chosen symmetric nevertheless

Ingo von Münch, Patrizio Neff외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 07.

Nonlocal and gradient elasticity in micro/nano structures참고 문헌 49인용 수 54

한 줄 요약

이 논문은 양 등이 수정된 쌍대 스트레스 모델에서 대칭 쌍대 스트레스 텐서를 가정하는 데 사용한 추론에 논리적 간극이 있음을 밝히며, 그들의 추론이 물리적 근거가 없는 인위적인 평형 조건에 의존하고 있음을 보여준다. 총 스트레스가 대칭이면서 트레이스리스일 경우 쌍대 스트레스 텐서가 여전히 대칭이 될 수 있음을 제안하며, 스트레스 기울기 분해와 변분 원리를 기반으로 한 물리적으로 일관된 대안을 제시함으로써, 물리 법칙을 위반하지 않으면서도 대칭 쌍대 스트레스를 정당화한다.

ABSTRACT

We show that the reasoning in favor of a symmetric couple stress tensor in Yang et al.'s introduction of the modified couple stress theory contains a gap, but we present a reasonable physical hypothesis, implying that the couple stress tensor is traceless and may be symmetric anyway. To this aim, the origin of couple stress is discussed on the basis of certain properties of the total stress itself. In contrast to classical continuum mechanics, the balance of linear momentum and the balance of angular momentum are formulated at an infinitesimal cube considering the total stress as linear and quadratic approximation of a spatial Taylor series expansion.

연구 동기 및 목표

• 수정된 쌍대 스트레스 모델에서 쌍대 스트레스 텐서의 대칭성에 대한 양 등의 추론에 존재하는 논리적 간극을 규명하는 것.
• 대칭 쌍대 스트레스 텐서를 가정하는 데 대해 물리적으로 일관된 대안적 근거를 제공하는 것.
• 테일러 급수 전개를 통한 총 스트레스장 분석을 통해 쌍대 스트레스의 물리적 기원을 명확히 하는 것.
• 양 등의 추론이 잘못되었더라도 쌍대 스트레스 텐서의 대칭성이 물리 법칙을 위반하지 않음을 보여주는 것.
• 대칭 쌍대 스트레스를 트레이스리스이자 대칭인 총 스트레스와 조화시키는 것.

제안 방법

• 소형 변형 및 등방성 가정 하에 제2계 기울기 에너지를 기반으로 한 변분 접근을 사용하여 쌍대 스트레스 모델을 유도하는 것.
• 총 스트레스장에 대해 2차 항까지의 테일러 급수 전개를 적용하여 스트레스 기울기의 선형 및 각운동량 균형에 기여하는 기여도로 분해하는 것.
• 쌍대 스트레스 텐서를 각운동량 균형을 상쇄하는 유일한 결과물로 식별하며, 이는 스트레스 기울기에서 유도됨을 밝히는 것.
• 총 스트레스 장의 대칭성을 강제로 적용하여 쌍대 스트레스 텐서가 트레이스리스여야 한다는 것을 유도하는 것.
• 트레이스리스인 쌍대 스트레스를 생성할 수 있는 대칭 스트레스 함수를 사용하여 대칭 텐서 선택이 가능하도록 하는 것.
• 구성법적 가정 없이 순수하게 균형 기반의 유도와 변분 유도를 비교하여 일관성을 확인하는 것.

Figure 1: General affine (left) and conformal mapping (right), which is locally only rotation and dilation.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수정된 쌍대 스트레스 모델에서 쌍대 스트레스 텐서의 본질적 대칭성에 대한 양 등의 추론에 존재하는 결함은 무엇인가?
• RQ2 양 등의 추론이 잘못되었더라도 쌍대 스트레스 텐서가 대칭일 수 있으며, 이는 물리 법칙을 위반하지 않는가?
• RQ3 물리적으로 일관된 기계적 프레임워크 내에서 쌍대 스트레스 텐서의 대칭성을 정당화하는 물리적 조건이나 가정은 무엇인가?
• RQ4 테일러 전개를 통한 스트레스 기울기 분해가 각운동량 균형과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 쌍대 스트레스 텐서가 트레이스리스이자 대칭이 되는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 양 등의 대칭 쌍대 스트레스 추론은 물리적 근거가 없는 인위적인 평형 조건에 의존하므로 잘못되어 있다.
• 총 스트레스가 대칭일 경우 쌍대 스트레스 텐서는 반드시 트레이스리스여야 하며, 이는 각운동량 균형의 직접적인 결과이다.
• 트레이스리스이자 대칭인 쌍대 스트레스를 생성할 수 있는 대칭 스트레스 함수를 구성할 수 있으며, 이는 대칭성에 대한 물리적으로 일관된 근거를 제공한다.
• 내부 길이 척도 $L_c$ 가 유한할 경우 수정된 쌍대 스트레스 모델은 여전히 유효하며, 고전적 탄성보다 더 강성도가 높으며, $L_c^2 \alpha_1 \to \infty$ 가 되면서 강성도 증가한다.
• 작은 척도의 시료에서 굽힘 및 비틀림에 대해 유한한 강성이 유지되며, 이는 '더 작을수록 더 강하다'는 치수 효과와 일치한다.
• 총 스트레스장에 대해 2차 항까지의 테일러 전개를 통한 접근은 쌍대 스트레스 텐서가 스트레스 기울기에서 기인함을 정확히 규명하며, 이는 각운동량 균형에서의 역할을 검증한다.

Figure 2: Infinitesimal conformal mappings [ 41 ] locally preserve angles and shapes but may be globally inhomogeneous.