[논문 리뷰] On some fundamental misunderstandings in the indeterminate couple stress model. A comment on recent papers of A.R. Hadjesfandiari and G.F. Dargush

Patrizio Neff, Ingo von Münch외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 13.

Nonlocal and gradient elasticity in micro/nano structures참고 문헌 44인용 수 67

한 줄 요약

이 논문은 Hadjesfandiari와 Dargush가 고려한 비결정성 커플 스트레스 모델에서 커플 스트레스 텐서의 비대칭성에 대한 주장을 도전한다. 그들의 결론은 물리적 필수성 때문이 아니라 잘못되고 불완전한 경계 조건에서 비롯된 것으로 밝혀졌다. 저자들은 완전한 응력 경계 조건을 갖춘 수정된 일관된 수식을 수립하여, 커플 스트레스 텐서의 비대칭성을 요구하지 않더라도 모델이 잘 정의되어 있음을 증명한다.

ABSTRACT

In a series of papers which are either published [A.R. Hadjesfandiari and G.F. Dargush, Couple stress theory for solids, Int. J. Solids Struct. 48, 2496-2510, 2011; A.R. Hadjesfandiari and G.F. Dargush, Fundamental solutions for isotropic size-dependent couple stress elasticity, Int. J. Solids Struct. 50, 1253-1265, 2013] or available as preprints Hadjesfandiari and Dargush have reconsidered the linear indeterminate couple stress model. They are postulating a certain physically plausible split in the virtual work principle. Based on this postulate they claim that the second-order couple stress tensor must always be skew-symmetric. Since they use an incomplete set of boundary conditions in their virtual work principle their statement contains unrecoverable errors. This is shown by specifying their development to the isotropic case. However, their choice of constitutive parameters is mathematically possible and still yields a well-posed boundary value problem.

연구 동기 및 목표

• Hadjesfandiari와 Dargush가 최근에 제시한 비결정성 커플 스트레스 모델의 잘못된 경계 조건을 규명하고 수정하는 것.
• 고차 스케일 탄성 이론에서 커플 스트레스 텐서의 대칭성에 대한 오랫동안 지속된 혼동을 해결하는 것.
• 고전적 비결정성 커플 스트레스 모델에 대해 수학적으로 일관되고 완전한 응력 경계 조건 집합을 수립하는 것.
• 커플 스트레스 텐서의 비대칭성 가정이 물리적으로 필수적인 것이 아니며, 잘못된 경계 조건 설정에 기인한 결과임을 입증하는 것.
• 수정된 경계 조건 하에서 커플 스트레스 텐서가 비대칭일 필요가 없더라도 비결정성 커플 스트레스 모델이 잘 정의되어 있음을 검증하는 것.

제안 방법

• Hadjesfandiari와 Dargush가 제안한 물리적으로 타당한 일관된 작업 항의 분할 방식을 사용하여 허위 일관성 원리를 재수립하는 것.
• 등방성 선형 비결정성 커플 스트레스 모델의 평형 및 구성 방정식을 제1원리에서 재유도하는 것.
• 고전적 응력 경계 조건과 Hadjesfandiari와 Dargush가 사용한 조건을 비교함으로써 경계 조건 설정의 오류를 규명하는 것.
• 비대칭 커플 스트레스 텐서 주장이 불완전한 경계 조건 사용에 의해 결정된다는 것을 보여주는 것.
• 군 이론적 및 등각 대칭성 논증을 사용하여 수정된 수식의 타당성을 뒷받침하는 것.
• 세 개의 구성 매개변수를 갖는 수정된 커플 스트레스 모델이 수정된 경계 조건 하에서도 잘 정의되고 일관됨을 보여주는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 Hadjesfandiari-Dargush 수식에서 커플 스트레스 텐서의 비대칭성 주장이 엄밀한 경계 조건 분석에서 실패하는가?
• RQ2 고전적 비결정성 커플 스트레스 모델에 대한 올바르고 완전한 응력 경계 조건은 무엇인가?
• RQ3 커플 스트레스 텐서의 구면 부분의 비결정성은 물리적 모순인가, 아니면 수학적으로 허용 가능한 특성인가?
• RQ4 커플 스트레스 텐서가 비대칭이 되어야 한다는 조건이 없더라도 비결정성 커플 스트레스 모델이 잘 정의되고 일관되게 유지될 수 있는가?
• RQ5 경계 조건의 선택이 고차 스케일 탄성 이론에서 커플 스트레스 텐서의 대칭성 특성에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 비결정성 커플 스트레스 모델에서 두 번째 계수 커플 스트레스 텐서가 비대칭이어야 한다는 주장은 잘못된 경계 조건에 기반하여 무효함.
• 이전 연구에서 사용된 고전적 응력 경계 조건은 수학적으로 불완전하며 수식에 모순을 초래함.
• 비결정성 커플 스트레스 모델에 대해 새로운 완전하고 일관된 응력 경계 조건 집합을 유도하여 오랫동안 지속된 모호함을 해결함.
• 커플 스트레스 텐서의 구면 부분의 비결정성은 결함이 아니라, 비압축성 재료에서 압력과 유사한 특성으로 간주되며, 경계 조건을 통해 복원 가능함.
• 커플 스트레스 텐서가 대칭일 경우에도 모델이 잘 정의되고 수학적으로 일관됨을 입증하여 비대칭성의 필수성을 반박함.
• 세 개의 구성 매개변수를 갖는 수정된 커플 스트레스 모델은 수정된 경계 조건 프레임워크 하에서 완전히 일관되고 잘 정의되어 있음.