[논문 리뷰] The Modified Lommel functions: monotonic pattern and inequalities

Saiful R. Mondal|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 15.

Mathematical Inequalities and Applications참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 수정된 Lommel 함수의 단조성, 로그볼록성 및 비율 성질을 그들의 멱급수 및 무한곱 표현을 통해 조사한다. 투란형 및 역투란형 부등식을 수립하고, Lommel 함수에 대한 레일리형 함수를 유도하며, 레드헤퍼형 부등식을 증명하여 수학적 물리학 및 해석학 분야에서 이러한 특수함수에 대한 날카운 bounds를 제공한다.

ABSTRACT

This article studies the monotonicity, log-convexity of the modified Lommel functions by using its power series and infinite product representation. Same properties for the ratio of the modified Lommel functions with the Lommel function, $\sinh$ and $\cosh$ are also discussed. As a consequence, some Turán type and reverse Turán type inequalities are given. A Rayleigh type function for the Lommel functions are derived and as an application, we obtain the Redheffer-type inequality.

연구 동기 및 목표

• 정규화된 수정된 Lommel 함수 $\lambda_{\mu,\nu}(x)$ 의 매개수 $\mu$, $\nu$ 및 변수 $x$ 에 대한 단조성과 로그볼록성 성질을 분석하는 것.
• 수정된 Lommel 함수와 그 비율에 대한 투란형 및 역투란형 부등식을 유도하는 것. 비율은 $\sinh(x)$, $\cosh(x)$ 및 Lommel 함수와 비교된다.
• 무한곱 인수분해를 이용하여 비율 $L_{\mu-1/2,1/2}(x)/S_{\mu-1/2,1/2}(x)$ 와 관련 함수의 로그볼록성에 대해 연구하는 것.
• Lommel 함수에 대한 레일리형 함수를 구성하고, 이를 이용해 레드헤퍼형 부등식을 도출하는 것.
• 급수 및 곱 전개를 통해 관련 초함수의 영점에 대한 날카운 부등식과 점점 줄어드는 경계를 수립하는 것.

제안 방법

• 정규화된 수정된 Lommel 함수 $\lambda_{\mu,\nu}(x)$ 의 멱급수 표현을 활용하여, 순서가 1인 짝수 전체 함수로 표현되며, 일반화된 하이퍼기하급수 ${}_1F_2$ 를 통해 기술된다.
• 관련 함수에 대한 무한곱 표현 $\varphi_k(x) = \prod_{j=1}^\infty \left(1 - \frac{x^2}{\eta_{\mu,k,n}^2}\right)$ 를 적용하여 영점 분포 및 로그볼록성 분석을 수행한다.
• 계수가 양수인 급수의 비율 단조성에 관한 보조정리 1.1 을 활용하여 $\lambda_{\mu,\nu}(x)/\lambda_{\mu_1,\nu_1}(x)$ 와 관련 비율의 단조성을 증명한다.
• 무한곱 표현 $\Lambda_{\mu-1/2,1/2}(x)$ 의 로그미분을 통해 레일리형 함수 $\alpha_n^{(2m)} = \sum_{n=1}^\infty \eta_{\mu,n}^{-2m}$ 을 도출한다.
• 로그미분과 급수 재전개를 활용하여 $\Lambda_{\mu-1/2,1/2}(x)$ 의 로그미분을 레일리 함수와 연결하고, 비율 $\varphi_\mu(x)$ 의 단조성을 증명한다.
• 한계 비교 원리와 점근적 분석을 적용하여 도함수 비율의 경계 극한을 평가하고, 엄밀한 단조성과 볼록성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매개수 $\mu, \nu, \mu_1, \nu_1$ 가 어떤 조건을 만족할 경우 비율 $\lambda_{\mu,\nu}(x)/\lambda_{\mu_1,\nu_1}(x)$ 는 $(0, \infty)$ 에서 엄밀히 증가하는가?
• RQ2 매개수 $\mu$ 와 $\nu$ 는 고정된 $x > 0$ 에서 $\lambda_{\mu,\nu}(x)$ 의 로그볼록성과 단조성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 연속된 Lommel 함수의 영점 사이의 간격에서 비율 $L_{\mu-1/2,1/2}(x)/S_{\mu-1/2,1/2}(x)$ 의 로그볼록성 행동은 어떠한가?
• RQ4 Lommel 함수에 대해 레일리형 함수를 구성하여 레드헤퍼형 부등식을 도출할 수 있는가?
• RQ5 비율 $\lambda_{\mu,\nu}(x)/\cosh(x)$ 의 날카운 경계는 무엇이며, 어떤 조건에서 엄밀히 감소하는가?

주요 결과

• 비율 $\lambda_{\mu,\nu}(x)/\lambda_{\mu_1,\nu_1}(x)$ 는 $\mu_1 \geq \mu > -1$ 이고 $(\mu_1 - \mu)(\mu_1 + \mu + 6) \geq \nu_1^2 - \nu^2$ 를 만족할 경우 $(0, \infty)$ 에서 엄밀히 증가한다.
• $\mu \pm \nu + 3 > 0$ 일 때, 각 고정된 $\nu \in \mathbb{R}$ 와 $x > 0$ 에 대해 $\mu \mapsto \lambda_{\mu,\nu}(x)$ 는 $(-1, \infty)$ 에서 엄밀히 감소하고 로그볼록이다.
• 각 고정된 $\mu > -1$ 과 $x > 0$ 에 대해 $\mu \pm \nu + 3 > 0$ 이면 $\nu \mapsto \lambda_{\mu,\nu}(x)$ 는 $\mathbb{R}$ 에서 엄밀히 로그볼록이다.
• $\mu \pm \nu + 3 > 0$ 일 때, 함수 $x \mapsto \lambda_{\mu,\nu}^2(x)/\cosh(x)$ 는 $[0, \eta_{\mu,1})$ 에서 엄밀히 감소한다.
• 비율 $\lambda_{\mu-1/2,1/2}(x)\Lambda_{\mu-1/2,1/2}(x)$ 는 Lommel 함수의 첫 번째 두 영점 사이의 구간 $I_\mu$ 에서 엄밀히 로그볼록이다.
• 함수 $\varphi_\mu(x) = \log(\Lambda_{\mu-1/2,1/2}(x)) / \log(1 - x^2/\eta_{\mu,1}^2)$ 는 $[0, \eta_{\mu,1})$ 에서 엄밀히 감소하며, 0에서의 극한은 $\eta_{\mu,1}^2 \alpha_\mu^{(2)}$ 이고, 끝점에서의 극한은 1이다. 이는 영점 분포에 대한 날카운 경계를 암시한다.