[논문 리뷰] The monotonicity rules for the ratio of two Laplace transforms with applications

Zhen-Hang Yang, Jing-Feng Tian|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 07.

Mathematical Inequalities and Applications참고 문헌 34인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 두 라플라스 변환의 비율에 대한 단조성 규칙을 수립한다: 만약 그들 적분된 함수의 비율 $ f/g $ 가 증가했다가 감소한다면 (또는 그 반대), 그 라플라스 변환의 비율 $ F/G $ 는 $ H_{F,G}(0^+) $ 의 부호에 따라 감소하거나 단모양이 된다. 주요 기여는 라플라스 변환 비율의 단조성에 대한 기준을 제시하고, 이를 통해 psi 함수와 제2종 수정 베셀 함수에 대한 새로운 경계와 성질을 도출하는 데 있다.

ABSTRACT

Let $f$ and $g$ be both continuous functions on $\left( 0,\infty ight) $ with $g\left( t ight) >0$ for $t\in \left( 0,\infty ight) $ and let $ F\left( x ight) =\mathcal{L}\left( f ight) $, $G\left( x ight) =\mathcal{L }\left( g ight) $ be respectively the Laplace transforms of $f$ and $g$ converging for $x>0$. We prove that if there is a $t^{\ast }\in \left( 0,\infty ight) $ such that $f/g$ is strictly increasing on $\left( 0,t^{\ast } ight) $ and strictly decreasing on $\left( t^{\ast },\infty ight) $, then the ratio $F/G$ is decreasing on $\left( 0,\infty ight) $ if and only if \begin{equation*} H_{F,G}\left( 0^{+} ight) =\lim_{x ightarrow 0^{+}}\left( \frac{F^{\prime }\left( x ight) }{G^{\prime }\left( x ight) }G\left( x ight) -F\left( x ight) ight) \geq 0, \end{equation*} with \begin{equation*} \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{F\left( x ight) }{G\left( x ight) } =\lim_{t ightarrow \infty }\frac{f\left( t ight) }{g\left( t ight) } ext{ \ and \ }\lim_{x ightarrow \infty }\frac{F\left( x ight) }{G\left( x ight) }=\lim_{t ightarrow 0^{+}}\frac{f\left( t ight) }{g\left( t ight) } \end{equation*} provide the indicated limits exist. While $H_{F,G}\left( 0^{+} ight) <0$, there is at leas one $x^{\ast }>0$ such that $F/G$ is increasing on $\left( 0,x^{\ast } ight) $ and decreasing on $\left( x^{\ast },\infty ight) $. As applications of this monotonicity rule, a unified treatment for certain bounds of psi function is presented, and some properties of the modified Bessel functions of the second are established. These show that the monotonicity rules in this paper may contribute to study for certain special functions because many special functions can be expressed as corresponding Laplace transforms.

연구 동기 및 목표

• 두 라플라스 변환의 비율에 대한 단조성 규칙을 수립한다. 이는 그들의 적분된 함수 비율 $ f/g $ 가 단모양 패턴을 띠는 경우(증가한 후 감소)에 적용된다.
• 라플라스 변환 비율 $ F/G $ 가 감소하거나 단모양임을 판단하기 위한 기준을 제시한다. 이는 $ H_{F,G}(0^+) $ 의 극한에 기반한다.
• 이 단조성 규칙을 활용하여 특수 함수, 특히 psi 함수와 제2종 수정 베셀 함수에 대한 새로운 부등식과 경계를 유도한다.
• 특수 함수의 적분 표현을 라플라스 변환으로 간주함으로써 기존 결과들을 통합하고 확장한다.

제안 방법

• 연속적이고 양수인 $ g $ 와 $ f $ 에 대해 $ F(x) = \mathcal{L}(f) $, $ G(x) = \mathcal{L}(g) $ 를 $ (0,\infty) $ 에서의 라플라스 변환으로 정의한다.
• 보조 함수 $ H_{F,G}(x) = \frac{F'(x)}{G'(x)}G(x) - F(x) $ 를 도입하고, $ x \to 0^+ $ 에서의 극한을 분석한다.
• 만약 $ f/g $ 가 단모양 조건을 만족한다면, $ F/G $ 가 $ (0,\infty) $ 에서 감소함은 $ \lim_{x \to 0^+} H_{F,G}(x) \geq 0 $ 인 것과 필요충분조건임을 증명한다.
• 라플라스 변환 비율 $ F/G $ 의 점점 가까운 행동을 이용한다: $ \lim_{x \to 0^+} F/G = \lim_{t \to \infty} f(t)/g(t) $, 그리고 $ \lim_{x \to \infty} F/G = \lim_{t \to 0^+} f(t)/g(t) $.
• 특수 함수의 적분 표현, 예를 들어 psi 함수와 제2종 수정 베셀 함수에 대해 이 단조성 규칙을 적용한다.
• 재귀 관계와 단조성 기준을 사용하여 $ xK_v'(x)/K_v(x) $ 에 대한 투란 유형의 부등식과 개선된 경계를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 적분된 함수 비율 $ f/g $ 가 단모양일 때, 두 라플라스 변환 비율 $ F/G $ 가 감소하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 라플라스 변환 비율 $ F/G $ 의 단조성 행동은 $ H_{F,G}(0^+) $ 의 부호에 의해 어떻게 결정되는가?
• RQ3 이 단조성 규칙을 사용하여 psi 함수와 제2종 수정 베셀 함수에 대한 새로운 경계를 도출할 수 있는가?
• RQ4 이 규칙은 라플라스 변환으로 표현된 특수 함수 연구에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 비율 $ F/G $ 가 $ (0,\infty) $ 에서 감소함은 $ f/g $ 가 증가했다가 감소하는 조건을 만족할 때 $ \lim_{x \to 0^+} H_{F,G}(x) \geq 0 $ 이어야 하고, 그와 동시에 충분하다.
• 만약 $ H_{F,G}(0^+) < 0 $ 이라면, $ F/G $ 는 단모양이다: 어떤 $ x^* > 0 $ 에 대해 $ (0,x^*) $ 에서는 증가하고 $ (x^*,\infty) $ 에서는 감소한다.
• 이 규칙을 통해 새로운 투란 유형의 부등식을 도출한다: $ |v| > 1/2 $ 일 때 $ \frac{K_{v-1}(x)K_{v+1}(x)}{K_v(x)^2} < 1 + \frac{1}{x} $ 이고, $ |v| < 1/2 $ 일 때는 반대 부등식이 성립한다.
• 개선된 이중 부등식이 확립된다: $ x > 0 $ 에 대해 $ -\sqrt{x^2 + x + \max(|v|,1/2)^2} < \frac{xK_v'(x)}{K_v(x)} < -\sqrt{x^2 + x + \min(|v|,1/2)^2} $.
• 특수 함수 $ xK_v'(x)/K_v(x) $ 에 대한 경계 $ -\sqrt{x^2 + x + v^2} $ 는 기존 경계보다 더 날카롭고, $ |v| > 1/2 $ 에서도 유효하다.
• 이 방법은 많은 특수 함수가 알려진 적분된 함수의 라플라스 변환으로 표현되므로, 특수 함수의 성질을 유일하게 도출하는 데 유용하다.