[논문 리뷰] The Nicolas and Robin inequalities with sums of two squares

William D. Banks, Derrick Hart외 2명|arXiv (Cornell University)|2007. 10. 12.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 7인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 리만 가설을 테스트하는 데 핵심적인 니콜라스 부등식과 루빈 부등식이 두 제곱수의 합으로 표현할 수 있는 자연수 중 유한 개를 제외한 전부에 대해 성립함을 입증한다. 소인수 분해 조건을 만족하는 광범위한 집합의 클래스를 분석함으로써, 이러한 부등식을 위반하는 수는 유한 개뿐이며, 특히 두 제곱수의 합의 경우 정확히 347개의 예외를 특정로 밝혀낸다.

ABSTRACT

In 1984, G. Robin proved that the Riemann hypothesis is true if and only if the Robin inequality $σ(n)5040$, where $σ(n)$ is the sum of divisors function, and $γ$ is the Euler-Mascheroni constant. We exhibit a broad class of subsets $\cS$ of the natural numbers such that the Robin inequality holds for all but finitely many $n\in\cS$. As a special case, we determine the finitely many numbers of the form $n=a^2+b^2$ that do not satisfy the Robin inequality. In fact, we prove our assertions with the Nicolas inequality $n/ϕ(n)1$ our results for the Robin inequality follow at once.

연구 동기 및 목표

• 모든 원소 중 유한 개를 제외한 나머지 원소에 대해 니콜라스 및 루빈 부등식이 성립하는 무한한 자연수 집합의 무한한 가족을 규명하는 것.
• 특정 산술 집합 내에서 약수의 합 함수와 오일러 피 함수의 행동을 리만 가설과 연관시켜 분석하는 것.
• 형태 $ n = a^2 + b^2 $인 수 중 니콜라스 부등식을 위반하는 정확한 유한 집합을 결정하는 것.
• 일부 경우에서 $ n > 5040 $ 조건을 제거함으로써 리만 가설에 대한 기존 기준을 확장하는 것.

제안 방법

• 집합 $ \mathcal{S} = \{ n \in \mathbb{N} \mid \text{만약 } p \in \mathcal{Q} \text{ 이고 } p \mid n \text{ 이면 } p^2 \mid n \} $ 을 정의하며, 여기서 $ \mathcal{Q} $ 는 $ \mathbb{P} $ 의 부분집합 $ \mathcal{P} $ 의 여집합이며, $ \mathcal{P} $ 는 양의 하한 밀도와 1 미만의 상한 밀도를 가진다.
• 4를 모듈로로 하는 등차수열 내 소수에 대한 효과적인 경계를 사용하여 두 제곱수의 합의 경우를 분석한다.
• 모든 $ n > 1 $ 에 대해 $ \sigma(n)/n < n/\varphi(n) $ 이므로, 니콜라스 부등식에 대한 결과는 루빈 부등식에 대한 결과를 암시한다.
• 메르텐스 정리와 소수 정리(Prime Number Theorem)를 적용하여 $ \sigma(n)/(n \log \log n) $ 과 $ n/(\varphi(n) \log \log n) $ 의 渐近적 행동을 분석한다.
• 모든 소수 $ p $ 에 대해 $ v(p,n) \to \infty $ 이고 $ a_n = \exp(n^{1+o(1)}) $ 를 만족하는 수열 $ \{a_n\} \subset \mathcal{S} $ 를 구성함으로써, 비율의 상한극한이 $ e^\gamma $ 에 수렴함을 증명한다.
• 논문 [6] 에서 제공하는 효과적인 경계를 활용하여 정확한 유한 집합 $ \mathcal{S} \setminus \mathcal{N} $ 을 계산하였으며, 이는 니콜라스 부등식을 위반하는 347개의 수를 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 무한한 부분집합 $ \mathcal{S} \subset \mathbb{N} $ 에 대해 니콜라스 부등식 $ n/\varphi(n) < e^\gamma \log \log n $ 이 $ \mathcal{S} $ 의 거의 모든 원소에 대해 성립하는가?
• RQ2 형태 $ n = a^2 + b^2 $ 인 수 중에서 니콜라스 부등식을 만족하지 못하는 수는 몇 개인가?
• RQ3 일부 산술 집합에 대해 $ n > 5040 $ 조건 없이 리만 가설이 루빈 부등식이 모든 $ n $ 에 대해 성립하는 것으로 특징지어질 수 있는가?
• RQ4 두 제곱수의 합 집합에서 $ \sigma(n)/(n \log \log n) $ 과 $ n/(\varphi(n) \log \log n) $ 의 渐近적 행동은 어떠한가?
• RQ5 집합 $ \mathcal{S} $ 에서 $ \sigma(n)/(n \log \log n) $ 의 상한극한이 정확히 $ e^\gamma $ 와 같으며, 이는 두 제곱수의 합 집합에도 성립하는가?

주요 결과

• 소수 집합 $ \mathcal{Q} $ (하한 밀도가 양이며 상한 밀도가 1 미만임) 에 속하는 소수가 제곱 인수를 가져야 하는 조건을 만족하는 모든 집합 $ \mathcal{S} $ 에 대해, 니콜라스 부등식을 위반하는 수의 집합 $ \mathcal{S} \setminus \mathcal{N} $ 은 유한하다.
• 특히 $ \mathcal{P} $ 가 $ 1 \pmod{4} $ 인 소수들과 $ \{2\} $ 의 집합일 경우, 집합 $ \mathcal{S} $ 는 두 제곱수의 합으로 표현 가능한 모든 수를 포함한다.
• 집합 $ \mathcal{S} \setminus \mathcal{N} $ 은 정확히 347개의 자연수로 이루어져 있으며, 이 중 246개는 두 제곱수의 합으로 표현 가능하다.
• 두 제곱수의 합 집합에서 $ \sigma(n)/(n \log \log n) $ 과 $ n/(\varphi(n) \log \log n) $ 의 상한극한은 정확히 $ e^\gamma $ 이며, 이는 이 비율들이 渐近적으로 극값임을 확인한다.
• 결과적으로, 이러한 집합 $ \mathcal{S} $ 에서는 유한 개를 제외한 모든 $ n $ 에 대해 루빈 부등식이 성립하며, 특히 두 제곱수의 합인 $ n = a^2 + b^2 $ 에 대해서도 마찬가지다.
• 논문은 리만 가설이 어떤 소수의 오일러 피 함수의 제곱수를 나누는 모든 $ n $ 에 대해 루빈 부등식이 성립함과 동치임을 입증한다. 이때 $ n > 5040 $ 조건이 필요 없다.