[논문 리뷰] The nonlinear fractional diffusion equations with Nagumo-type sources and perturbed orders

Nguyen Minh Dien, Erkan Nane외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 17.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 19인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 캡투 시간 도함수와 변형된 분수형 수주를 갖는 비선형 분수형 확산 방정식의 해가 존재하고 유일하며 안정적인지 조사한다. 이 방정식은 나누모 타입의 비선형 소스를 포함한다. 병렬된 분수형 수주에 의한 편미분에 의한 악성 문제의 정규화에 대해 허더 타입의 오차 추정을 수립하며, 불안정성을 입증하고 초기 자료 복원을 위한 정규화 방법을 제안한다.

ABSTRACT

We consider a class of nonlinear fractional equations having the Caputo fractional derivative of the time variable $t$, the fractional order of the self-adjoint positive definite unbounded operator in a Hilbert space and a singular nonlinear source. These equations are generalizations of some well-known fractional equation such as the fractional Cahn-Allen equation, the fractional Burger equation, the fractional Cahn-Hilliard equation, the fractional Kuramoto-Sivashinsky equation, etc. We study both the initial value and the final value problem. Under some suitable assumptions, we investigate the existence, uniqueness of maximal solution, and stability of solution of the problems with respect to perturbed fractional orders. For $t=0$, we show that the final value problem is instable and deduce that the problem is ill-posed. A regularization method is proposed to recover the initial data from the inexact fractional orders and the final data. By some regularity assumptions of the exact solutions of the problems, we obtain an error estimate of Hölder type.

연구 동기 및 목표

• 비선형 분수형 확산 방정식에 대해 특이한(나누모 타입의) 소스를 갖는 최대 해의 존재성과 유일성을 확립하기 위해.
• 분수형 수주 α와 β의 변화에 따른 해의 안정성 분석을 위해.
• 최종값 문제(FFVP)의 악성 문제를 조사하고 초기 자료 복원을 위한 정규화 방법을 제안하기 위해.
• 정확한 해에 대한 정규성 조건 하에 정규화 방법에 대한 허더 타입의 오차 추정을 유도하기 위해.
• 분수형 조건과 특이한 소스 조건 하에서 기존의 방정식들인 캔-앨런, 버거, 쿠라모토-시바시니 방정식을 일반화하기 위해.

제안 방법

• 자기수반, 양의 정부호, 무한대 연산자 A와 캡투 분수형 도함수 D_t^α를 갖는 힐베르트 공간 설정에서 문제를 수립한다.
• Nagumo 타입의 소스 항 f(t,u)를 도입하며, K(t,M) = t^{-ν}κ(M), ν > 0 조건을 만족하는 특이한 리프시츠 조건을 갖는다.
• 적절한 가정 하에 초기값 문제(FIVP)와 최종값 문제(FFVP)를 모두 분석하며, 최대 해의 존재성과 유일성을 입증한다.
• α와 β의 변화에 따른 불안정성으로 인해 FFVP가 악성 문제임을 입증한다.
• 불완전한 최종 데이터와 변화된 수주로부터 초기 자료를 복원하기 위한 정규화 방법을 제안한다.
• 고유값과 연산자 노름을 포함한 스펙트럼 프로젝션 기법과 추정을 활용하여 허더 타입의 오차 한계를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 나누모 타입의 소스를 갖는 비선형 분수형 확산 방정식의 초기값 문제가 어떤 조건에서 유일한 최대 해를 갖는가?
• RQ2 최종값 문제의 해는 분수형 수주 α와 β의 변화에 어떻게 영향을 받는가?
• RQ3 분수형 수주에 대한 변화에 의한 불안정성으로 인해 최종값 문제가 악성 문제인가?
• RQ4 정규화 방법을 통해 불완전한 최종 데이터와 변화된 수주로부터 초기 자료를 정량적 오차 한계 하에 복원할 수 있는가?
• RQ5 정규화 방법의 수렴 속도는 변화 크기와 해의 정규성에 따라 어떻게 되는가?

주요 결과

• 나누모 타입의 소스 조건과 적절한 정규성 조건 하에 초기값 문제가 고유한 최대 해를 갖는다.
• 최종값 문제가 α와 β의 미세한 변화에 의해 해 오차가 무한히 커지는 불안정성으로 인해 악성 문제로 밝혀진다.
• 변형된 수주와 최종 데이터로부터 초기 자료를 복원하기 위한 정규화 방법이 제안된다.
• 허더 타입의 오차 추정이 유도된다: ‖Q̃ - Q‖_γ,ρ ≤ ε + D N^{2β*} ln N (|α - α̃| + |β - β̃|)^{1/2}, 여기서 D는 문제 매개변수에 의존한다.
• 오차 추정은 정확한 해의 정규성과 분수형 수주의 변화 크기에 따라 달라지며, 수렴 속도는 O((|α - α̃| + |β - β̃|)^{1/2})이다.
• 분수형 및 특이한 소스 조건 하에서 캔-앨런, 버거, 쿠라모토-시바시니 방정식을 포함한 방정식들에 대한 분석을 추상적 분수형 프레임워크로 일반화한다.