[논문 리뷰] The number of distinct and repeated squares and cubes in the Fibonacci sequence

Yuke Huang, Zhi‐Ying Wen|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 14.

semigroups and automata theory참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 환원어와 고립어의 재귀적 구조를 활용하여 길이 $ n $ 인 피보나치 단어 접두사에서의 서로 다른 정사각형과 반복 정사각형, 그리고 서로 다른 세제곱과 반복 세제곱의 수에 대한 명시적 공식을 제공한다. $ A(n) $, $ B(f_m) $, $ C(n) $, $ D(f_m) $에 대한 닫힌 형태의 표현식을 유도하고, $ B(n) $과 $ D(n) $를 임의의 $ n $에 대해 효율적으로 계산할 수 있는 알고리즘을 제시하며, 이는 이전의 피보나치 단어 조합론 연구를 확장한다.

ABSTRACT

The Fibonacci sequence $\mathbb{F}$ is the fixed point beginning with $a$ of morphism $σ(a,b)=(ab,a)$. In this paper, we get the explicit expressions of all squares and cubes, then we determine the number of distinct squares and cubes in $\mathbb{F}[1,n]$ for all $n$, where $\mathbb{F}[1,n]$ is the prefix of $\mathbb{F}$ of length $n$. By establishing and discussing the recursive structure of squares and cubes, we give algorithms for counting the number of repeated squares and cubes in $\mathbb{F}[1,n]$ for all $n$, and get explicit expressions for some special $n$ such as $n=f_m$ (the Fibonacci number) etc., which including some known results such as in A.S.Fraenkel and J.Simpson, J.Shallit et al.

연구 동기 및 목표

• 모든 $ n $에 대해 피보나치 단어 접두사 $ \mathbb{F}[1,n] $ 내 서로 다른 정사각형과 반복 정사각형, 그리고 서로 다른 세제곱과 반복 세제곱의 수를 결정하는 것.
• 프라엔켈, 심슨, 쇼레이트 등이 제시한 바 있는 피보나치 수열 내 정사각형과 세제곱의 발생에 관한 기존 결과를 확장하는 것.
• 닫힌 형태가 존재하지 않을 경우에도 반복 정사각형 $ B(n) $과 반복 세제곱 $ D(n) $의 수를 효율적으로 계산할 수 있는 알고리즘을 개발하는 것.
• 환원어와 고립어를 이용한 재귀적 프레임워크를 구축하여 피보나치 수열 내 정사각형과 세제곱의 분포를 분석하는 것.

제안 방법

• 모든 요소에 대한 환원어의 구조를 활용하며, 임의의 요소에 대한 환원어 수열은 두 개의 환원 기호로 이루어진 피보나치 단어를 이룬다.
• 성질 2.2를 적용하여, 임의의 요소에 대한 환원어 수열 자체가 피보나치 단어임을 증명함으로써 정사각형 및 세제곱 발생의 재귀적 분석이 가능해진다.
• 팔린드롬이면서도 최대 발생성을 지닌 고립어 $ K_m $를 활용하여 임의의 요소의 커널과 그 환원 구조를 특성화한다.
• 환원어 구조를 이용해 정사각형 및 세제곱 위치에 대한 재귀적 관계를 도출함으로써, 동적 분해를 통한 계산 효율성을 확보한다.
• 피보나치 수 $ f_m = |F_m| $를 이용해 $ D(n) $ 및 $ B(n) $의 재귀적 감소를 위한 핵심 구간을 정의한다.
• 정리 10.6을 적용하여 피보나치 수의 항등식 기반으로 더 작은 구간으로 문제를 감소시킴으로써 부분합 $ \sum_{i=f_m-1}^n d(i) $를 효율적으로 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 길이 $ n $ 인 피보나치 단어 접두사 내 서로 다른 정사각형 $ A(n) $의 정확한 수는 얼마이며, 이를 닫힌 형태로 표현할 수 있는가?
• RQ2 닫힌 형태의 표현식이 없더라도, 임의의 $ n $에 대해 반복 정사각형 $ B(n) $의 수를 어떻게 효율적으로 계산할 수 있는가?
• RQ3 피보나치 구조와의 관계에서 $ \mathbb{F}[1,n] $ 내 서로 다른 세제곱의 수 $ C(n) $에 대한 명시적 공식은 무엇이며, 어떻게 유도되는가?
• RQ4 피보나치 길이 접두사에서 반복 세제곱의 수 $ D(f_m) $에 대한 닫힌 형태의 표현식은 무엇이며, 이는 이전 결과와 어떻게 비교되는가?
• RQ5 피보나치 수 분해 기반의 재귀적 감소를 이용해 임의의 $ n $에 대해 $ D(n) $을 계산할 수 있는 빠른 알고리즘을 구축할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $ n $에 대해 $ \mathbb{F}[1,n] $ 내 서로 다른 정사각형 수 $ A(n) $가 명시적으로 결정되었으며, 정사각형 발생의 완전한 특성화를 제공한다.
• 반복 정사각형 수 $ B(f_m) $는 $ m \geq 6 $ 일 때 $ \frac{m-11}{5}f_{m-1} + \frac{m+1}{5}f_{m-3} + m + 1 $ 로 주어지며, 프라엔켈과 심슨의 이전 연구를 확장한다.
• 서로 다른 세제곱 수 $ C(n) $는 재귀적 구조를 통해 결정되며, $ C(n) $는 피보나치 수와 환원어 성질에 의해 표현 가능하다.
• 반복 세제곱 수 $ D(f_m) $는 $ m \geq 6 $ 일 때 $ \frac{m-11}{5}f_{m-1} + \frac{m+1}{5}f_{m-3} + m + 1 $ 로 명시적으로 주어지며, 샬라이트 등이 이전에 유도한 결과를 대체로 재표현하고, 대수적 항등식을 통해 재확인한다.
• 피보나치 수로 정의된 구간을 기반으로 한 부분합 계산과 정리 10.6을 이용한 재귀적 감소를 통해 임의의 $ n $에 대해 $ D(n) $를 계산할 수 있는 빠른 알고리즘을 구축하였다.
• 논문에서 유도한 $ D(f_m) $ 표현식이 샬라이트 등이 제시한 지수형 표현식과 동치임을 확인하였으며, 정확한 계수 비교를 통해 새로운 대수적 유도의 타당성을 검증하였다.