[논문 리뷰] The phase diagram of the Hubbard model by Variational Auxiliary Field quantum Monte Carlo

Sandro Sorella|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 18.

Physics of Superconductivity and Magnetism인용 수 27

한 줄 요약

최적화된 평균장과 상관성을 활용한 보조 필드 QMC를 이용하여 2D 허버드 모델에 대해 체계적으로 개선 가능한 변분 파동 함수(VAFQMC)를 제시하고, stripe 및 d-파형 초전도 경향을 포함한 위상 다이어그램을 맵핑한다.

ABSTRACT

A systematically improvable wave function is proposed for the numerical solution of strongly correlated systems. With a stochastic optimization method, based on the auxiliary field quantum Monte Carlo technique, an effective temperature Teff is defined, probing the distance of the ground state properties of the model in the thermodynamic limit from the ones of the proposed correlated mean-field ansatz. In this way their uncertainties from the unbiased zero temperature limit may be estimated by simple and stable extrapolations well before the so called sign problem gets prohibitive. At finite Teff the convergence of the energy to the thermodynamic limit is indeed shown to be possible in the Hubbard model already for relatively small square lattices with linear dimension L ~10, thanks to appropriate averages over several twisted boundary conditions. Within the estimated energy accuracy of the proposed variational ansatz, two clear phases are identified, as the energy is lowered by spontaneously breaking some symmetries satisfied by the Hubbard Hamiltonian: a) a stripe phase where both spin and translation symmetries are broken, and b) a strong coupling d-wave superconducting phase when the particle number is not conserved and global U(1) symmetry is broken. On the other hand the symmetric phase is stable in a wide region at large doping and small coupling.

연구 동기 및 목표

• 강하게 상관된 시스템에 대해 체계적으로 개선 가능한 변분 파동 함수를 개발한다.
• 보조장 양자 몬테카를로와 변분 몬테카를로를 결합하여 바닥상태로 투사한다.
• 효과적 온도 T_eff와 뒤틀린 경계 조건을 통해 열적 극한으로의 안정적인 외삽을 가능하게 한다.
• 상관성 개선이 포함된 에너지 최적화 평균장 가설을 통해 2D 허버드 모델의 경쟁 상을 식별한다.

제안 방법

• 대칭성 깨짐 평균장을 갖는 매개변수화된 H_MF(alpha)와 대칭성 파괴 평균장 | psi_MF>를 사용하여 변분 가설 | ablapsi_tau> = exp[-(tau/2)(H_MF(alpha) + V)] |psi_MF>를 정의한다.
• 보조 장 QMC 프레임워크 내에서 상호 작용 항을 다루기 위해 이산 허버드-스트라토노비치 변환을 사용한다.
• tau를 고정된 상태로 유지하며 투사 오차를 최소화하기 위해 최적화된 시간 간격을 가진 비균일 Trotter 분해를 적용한다.
• 에너지 최소화를 통해 그래디언트를 얻기 위해 Adjoint Algorithmic Differentiation을 사용하여 alpha와 alpha_0(평균장 및 투사 매개변수)를 모두 최적화한다.
• 브릴루앙 영역에서 뒤틀림을 평균하고 열적 극한으로의 수렴을 가속하기 위해 뒤틀림 평균 경계 조건(TABC)을 적용한다.
• 보조 필드 구성 샘플링으로 에너지와 관측량을 계산하고 효과적 온도 T_eff = 1/tau의 안정적인 외삽을 사용하여 바닥상태 특성을 추정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 체계적으로 개선 가능한 변분 보조 필드 접근법을 사용할 때 2D 허버드 모델에서 어떤 위상이 나타나는가?
• RQ2 VAFQMC가 파동령 수 dopsing 및 결합 U에 따라 stripe 순서와 d-파형 초전도 경향을 식별할 수 있는가?
• RQ3 TABC와 유한-T_eff 외삽 하에서 열적 극한으로의 수렴은 얼마나 빠르고 신뢰할 수 있는가?
• RQ4 변분 가설이 열역학적 극한에서 벤치마크 결과(DMRG, iPEPS 등)와 비교해 어떤 차이를 보이는가?

주요 결과

• VAFQMC는 두 가지 경쟁 상을 찾는다: 스파인과 이동성 대칭을 깨는 stripe 상과 particle 수가 고정되지 않았을 때 강한 결합 d-파형 초전도 상이 존재한다.
• 큰 차원(2D) 시스템에서 stripe와 d-파형 상태는 에너지 면에서 매우 가깝게 나타날 수 있으며, 특정 도핑과 매개변수에서 stripe가 종종 에너지가 우위에 있다.
• 제시된 가설에 의한 T_eff → 0으로의 에너지 외삽은 벤치마크 방법과 잘 일치하는 결과를 내며, 열역학적 극한에서 종종 보고된 방법들 중 최고의 변분 에너지를 제공한다.
• 적절한 경계 조건과 꼬임 평균화를 사용할 때 합리적으로 크기가 있는 클러스터에서 투사 시간에 대한 빠른 수렴을 보인다.
• U/t = 8이고 도핑이 약 1/8일 때, 특정 폭(W=8)과 같은 stripe 상태가 바람직한 평균장 구성으로 나타나고, 시스템 크기와 경계 조건에 따라 균일한 d-파형 상태도 경쟁력이 있다.
• DMRG 및 iPEPS 벤치마크에 비해 VAFQMC는 열역학적 극한에서 매우 경쟁력 있거나 우수한 변분 에너지를 제공하며, 강하게 상관된 격자 모델의 벤치마크 도구로서의 효과를 강조한다.