[논문 리뷰] The Principal-Agent Problem With Time Inconsistent Utility Functions

Boualem Djehiche, Peter Helgesson|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 18.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 16인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 시간에 의존하지 않는 평균-분산 효용 함수를 가진 연속시간 제도-에이gent 문제를 해결하기 위해 확률적 최대원리 접근법을 개발한다. 이는 후행-전행 확률적 미분방정식(FBSDEs)을 사용하여 최적 계약을 특성화한다. 주요 기여는 선형-제곱형 설정에서 최적 노력과 보상에 대한 반명시적 해를 제공하는 것으로, 계약이 출력 정보에 적응되어 있음을 입증한다.

ABSTRACT

In this paper we study a generalization of the continuous time Principal-Agent problem allowing for time inconsistent utility functions, for instance of mean-variance type. Using recent results on the Pontryagin maximum principle for FBSDEs we suggest a method of characterizing optimal contracts for such models. To illustrate this we consider a fully solved explicit example in the linear quadratic setting.

연구 동기 및 목표

• 고전적 동적 프rogramming가 실패하는 시간에 의존하지 않는 평균-분산 효용 함수를 가진 제도-에이gent 문제를 다루기 위해.
• 에이전트와 제도의 목적이 시간에 따라 일관되지 않은 경우 최적 계약을 특성화하기 위한 일반적 방법을 개발하기 위해.
• 은폐된 행동과 은폐된 계약을 고려한 제도-에이gent 맥락에서 FBSDE에 대해 확률적 최대원리를 확장하기 위해.
• 선형-제곱형 프레임워크에서 완전히 해석 가능한 예를 제공하여 접근법의 실현 가능성을 보여주기 위해.
• 최적 계약이 제도의 정보 집합에 적응되어 있음을 보장하기 위해, 특히 출력 정보에 기반한 정보를 중심으로.

제안 방법

• 에이전트 문제는 FBSDE에 대한 본테리아의 최대원리로 먼저 해결되며, 이는 쌍대 과정에 대한 최적 노력이 유도된다.
• 제도 문제는 FBSDE 기반의 제약 조건이 있는 최적 제어 문제로 설정되며, 해밀토니안은 기대 수익과 분산 페널티를 모두 포함한다.
• 쌍대 과정에 대한 선형 가정을 통해 유도된 12개의 결합된 리카티 방정식 시스템을 풀어 최적 계약을 유도한다.
• 해결 과정은 인centive 호환성과 참여 제약 조건을 충족시키는 조건 하에 에이전트의 노력과 제도의 보상에 대한 동시 최적화를 포함한다.
• 몬테카를로 시뮬레이션을 사용하여 에이전트의 기대 수익과 분산을 추정하고, 라그랑주 승수의 수치적 캘리브레이션을 가능하게 한다.
• 최종적으로 최적 계약이 출력 필터링에 적응되어 있음을 입증하여 은폐된 행동 설정과의 일관성을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간에 의존하지 않는 평균-분산 효용 함수를 가진 제도-에이gent 모델에서 최적 계약은 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ2 은폐된 행동과 은폐된 계약을 고려한 FBSDE 기반 제도-에이gent 문제를 해결하기 위해 확률적 최대원리를 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ3 최적 계약이 제도의 정보 집합에 적응되어 있음을 보장하기 위한 조건은 무엇인가? 특히 출력만 관측 가능한 경우에 대해.
• RQ4 평균-분산 설정에서 참여 제약과 인센티브 호환성 제약를 동시에 충족시키는 방법은 무엇인가?
• RQ5 시간에 의존하지 않는 선호도를 가진 선형-제곱형 모델에서 최적 보상과 노력의 구조는 어떠한가?

주요 결과

• 최적 노력은 $\bar{e}(t) = b p(t) + s(t)$ 로 표현되며, 이는 $p(t)$ 가 후행 SDE를 만족함을 의미한다.
• 최적 보상은 $\bar{s}(t) = \frac{b P_1(t) + (1+b) P_2(t)}{\lambda_P}$ 로 유도되며, 제도의 해밀토니안과 쌍대 FBSDE에 기반한다.
• 쌍대 과정에 대한 선형 가정 하에 전체 시스템은 12개의 결합된 리카티 방정식으로 축소되어 반명시적 해를 가능하게 한다.
• 최적 계약은 $\mathbb{F}_x$-적응적이며, 출력 과정에만 의존함을 의미하여 은폐된 행동 가정과의 일관성을 확인한다.
• 몬테카를로 방법을 사용한 수치 시뮬레이션을 통해 라그랑주 승수 $\lambda_E$, $\lambda_V$, 및 $\lambda_P$ 를 조정함으로써 참여 제약 조건을 충족시키는 것이 가능함을 확인한다.
• 매개변수 $a = b = \sigma = 1$, $\alpha = 0.2$, $T = 0.03$ 를 가진 수치 예제를 통해 계약 동역학의 수렴을 검증하여 해법의 타당성을 입증한다.