[논문 리뷰] The Provability of Consistency

Sergei Artëmov|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 20.

Logic, Reasoning, and Knowledge참고 문헌 18인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 고전적 산술 공리계(Peano Arithmetic, PA)의 일관성에 대한 형식적 증명을 PA 내부에서 제시한다. 고전적 산술 공리계의 일관성 공식 ${\sf Con}_{\sf PA}$를 사용하지 않음으로써 굴리의 두 번째 불완전성 정리의 영향을 피한다. 대신 일관성을 단일 공식이 아니라, 각 유한한 PA 유도에 대해 그 유도가 모순을 도출하지 않는다는 것을 검증하는 원시 재귀적 선택 함수를 사용하는 체계로 형식화한다. 이에 따라 일관성은 단일 공식으로 내재화하지 않고도 PA 내에서 증명 가능하다는 것이 입증된다.

ABSTRACT

We offer a mathematical proof of consistency for Peano Arithmetic PA formalizable in PA. This result is compatible with Goedel's Second Incompleteness Theorem since our consistency proof does not rely on the representation of consistency as a specific arithmetical formula. Our findings show that formal theories can finitely formalize proofs of certain properties presented as schemes without reducing the presentation of those properties to a single formula. We outline a theory of proving schemes in PA.

연구 동기 및 목표

• 굴리의 두 번째 불완전성 정리가 암시하는 linh가, PA가 스스로의 일관성을 증명할 수 없다는 광범위한 믿음을 도전하기 위해.
• 일관성이 단일 산술 공식으로 축약되지 않을 경우, 굴리 정리의 '불가능성' 해석이 정당하지 않음을 보여주기 위해.
• 특히 체계로 표현된 성질의 증명과 같은 내용적인 수학적 추론을 PA 내에서 형식화함으로써, PA의 증명 이론적 범위를 확장하기 위해.
• 체계가 정당한 증명 양식으로 인정될 경우, 힐베르트 프로그램을 옹호하기 위해, 일관성 증명이 그 대상이 되는 체계 내에서 형식화될 수 있음을 보여주기 위해.

제안 방법

• 일관성을 단일 공식 ${\sf Con}_{\sf PA}$로가 아니라, 유한한 PA 유도 $S$에 대해 $S$가 $\bot$ 를 포함하지 않는다는 체계로 형식화한다.
• 각 공식 $\varphi$ 에 대해, 유도 $S$ 에서의 유도에 대해 산술적으로 정의된 불변량 ${\cal I}_S(\varphi)$ 를 도입하며, 이는 $S$ 에 속한 모든 $\varphi$ 에 대해 참이지만 ${\cal I}_S(\bot)$ 는 참이 아니다.
• 각 표준 숫자 $n$ 에 대해, $\neg n:\bot$ 를 증명하는 유도 $t(n)$ 을 반환하는 원시 재귀적 선택 함수 $t(x)$ 를 사용하여, 모든 표준 $n$ 이 모순을 증명하지 않음을 검증한다.
• 전체 전제 집합 $\neg 0:\bot, \neg 1:\bot, \neg 2:\bot, \ldots$ 는 유한한 체계를 통해 PA 내에서 증명 가능하지만, 유니버설 결론 $\forall x\, \neg x:\bot$ 는 증명하지 않는다.
• 고델 번호화와 선택 함수를 사용하여 Complete Induction 체계의 증명을 PA 내에서 형식화함으로써, 체계 기반 증명이 형식화 가능하다는 것을 보여준다.
• ${\sf Con}_{\sf PA}$ 를 일관성 원리로 받아들이는 것을 거부하며, 모든 일관성 증명이 단일 공식으로 내재화되어야 한다는 전제를 버리고, 체계의 증명이 합법적인 형식적 방법임을 주장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준적인 일관성 내재화 방식인 ${\sf Con}_{\sf PA}$ 를 피할 경우, PA 내부에서 PA의 일관성이 형식적으로 증명될 수 있는가?
• RQ2 예를 들어 체계의 증명과 같이 단일 공식으로 축약되지 않는 내용적인 수학적 증명은 PA 내에서 형식화될 수 있는가?
• RQ3 굴리의 두 번째 불완전성 정리는 실제로 PA 내의 일관성 증명을 차단하는가, 아니면 표현 방식에 대한 인위적인 제약 때문인가?
• RQ4 형식적 증명의 개념은 문장 외에도 체계를 포함하도록 확장될 수 있으며, 그 증명 이론적 결과는 무엇인가?
• RQ5 선택 함수의 사용은 PA 내에서 무한한 문장 집합을 유한한 방식으로 형식화하는 데 얼마나 기여하는가?

주요 결과

• PA는 일관성을 단일 공식 ${\sf Con}_{\sf PA}$ 가 아니라 체계로 표현함으로써 스스로의 일관성을 형식적으로 증명할 수 있으며, 이는 굴리의 두 번째 불완전성 정리를 피하는 데 성공한다.
• 일관성 증명은 원시 재귀적 선택 함수 $t(x)$ 를 사용하여 PA 내에서 형식화되며, 이 함수는 각 표준 수 $n$ 에 대해 $\neg n:\bot$ 를 증명하는 유도 $t(n)$ 을 생성함으로써, 어떤 표준 유도도 모순을 도출하지 않음을 보장한다.
• Complete Induction 성질은 PA 내에서 체계로 형식화되며, 그 증명 역시 PA 내에서 형식화 가능하다. 이는 체계 기반 증명이 체계 내에서 유효하다는 것을 보여준다.
• 불변량 ${\cal I}_S(\varphi)$ 는 $S$ 에 속한 모든 공식 $\varphi$ 에 대해 참이지만 $\bot$ 에 대해서는 참이 아니므로, $S$ 가 모순을 도출하는 유도가 아니라는 것을 확인한다.
• 논문은 ${\sf Con}_{\sf PA}$ 를 일관성 원리로 받아들이는 것을 반박하며, 모든 일관성 증명이 단일 공식으로 내재화되어야 한다는 전제가 필요하지 않음을 보여주며, 형식적 증명 가능성에 있어 이러한 내재화가 필수적이지 않음을 입증한다.
• 체계의 증명을 형식화 가능한 것으로 인정함으로써, 논문은 PA 내에서의 형식적 증명 가능 범위를 확장하며, 외부 일관성 가정에 의존하지 않고도 $\forall x[t(x) = 0]$ 와 같은 성질의 자가 포함된 검증이 가능하다.