[논문 리뷰] The quartic integrability and long time existence of steep water waves in 2D

Sijue Wu|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 18.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 36인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 초기 파고나 속도 크기에 대한 작음 조건 없이 2차원 무한 깊이 수면파에 대해 장시간 존재성을 확립한다. 물리 공간에서 4차로 보존되는 명시적 에너지 함수를 구성함으로써, 스케일 불변 및 고차 정규성 노름이 모두 $O(\varepsilon)$일 경우 수명 예측은 $O(\varepsilon^{-3})$, 스케일 불변 노름만 $O(\varepsilon)$일 경우 $O(\varepsilon^{-5/2})$가 된다. 이는 파고나 속도 크기의 작음 조건 없이도 성립한다.

ABSTRACT

It is known since the work of Dyachenko \& Zakharov \cite{zd} that for the weakly nonlinear 2d infinite depth water waves, there are no 3-wave interactions and all of the 4-wave interaction coefficients vanish on the non-trivial resonant manifold. In this paper we study this partial integrability from a different point of view. We construct, directly in the physical space, a sequence of energy functionals $\mathfrak E_j(t)$ which are explicit in the Riemann mapping variable and involve material derivatives of order $j$ of the solutions for the 2d water wave equation, so that $\frac d{dt} \mathfrak E_j(t)$ is quintic or higher order. We show that if some scaling invariant norm, and a norm involving one spatial derivative above the scaling of the initial data are of size no more than $\varepsilon$, then the lifespan of the solution for the 2d water wave equation is at least of order $O(\varepsilon^{-3})$, and the solution remains as regular as the initial data during this time. If only the scaling invariant norm of the data is of size $\varepsilon$, then the lifespan of the solution is at least of order $O(\varepsilon^{-5/2})$. Our long time existence results do not impose size restrictions on the slope of the initial interface and the magnitude of the initial velocity, they allow the interface to have arbitrary large steepnesses and initial velocities to have arbitrary large magnitudes.

연구 동기 및 목표

• 초기 파고나 속도 크기에 대한 작음 조건 없이 2차원 무한 깊이 수면파의 장시간 존재성을 확립하는 것.
• 계수의 부분적 정규성에 기반한 시스템의 물리 공간에서 4차로 보존되는 에너지 함수의 구조를 제공하는 것.
• 재스케일링에 의존하지 않는 스케일 불변 노름만을 기반으로 한 수명 예측을 도출하는 것.
• 물리 도메인에서 직접 고차 에너지 제어를 구성함으로써 수면파의 정규성에 대한 이해를 확장하는 것.

제안 방법

• 해결책의 물질 도함수의 차수 $j$를 포함하는 리만 사상 변수에서 에너지 함수의 수열 $\mathfrak{E}_j(t)$를 구성한다.
• $\frac{d}{dt}\mathfrak{E}_j(t)$가 5차 이상의 차수임을 보여, 에너지의 천천간 증가를 암시한다.
• 물리 공간에서 정규형 유형의 추론을 사용하여 2차 비선형성을 제거하고 고차 상호작용을 통제한다.
• $Z_{\alpha'}$, $D_t$, $A_1$, $b$, $\mathcal{P}$를 포함하는 추론 계층을 활용하여 핵심 기하학적 및 역학적 양들을 제한한다.
• 복소 좌표 $\alpha'$와 물질 도함수 $D_t$를 사용한 물리 공간에서의 수면파 시스템 분해에 의존한다.
• 물리 공간에서의 $L^2$, $\dot{H}^{1/2}$, $L^\infty$ 노름 등 다양한 노름을 $\varepsilon$와 초기 데이터 크기로 표현하여 기하학적 및 역학적 양들을 통제한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초기 파고나 속도 크기에 대한 작음 조건 없이 2차원 수면파의 장시간 존재성을 확립할 수 있는가?
• RQ2 해밀토니안 설정에서 3파 및 4파 공진 상호작용이 없을 경우, 물리 공간에서의 에너지 구조가 장시간 제어를 지원하는가?
• RQ3 재스케일링에 의존하지 않는 스케일 불변 노름만을 기반으로 한 수명 예측을 유도할 수 있는가?
• RQ4 물리 공간에서 명시적이고 고차의 에너지 함수를 구성하여 5차 이상의 차수에서 보존되도록 할 수 있는가?
• RQ5 초기 경계면의 파고가 임의일지라도 해가 $O(\varepsilon^{-3})$ 시간 동안 정규성을 유지할 수 있는가?

주요 결과

• 스케일 불변 노름과 스케일을 초월한 공간 도함수 한계가 $O(\varepsilon)$일 경우, 해의 수명은 최소 $O(\varepsilon^{-3})$이다.
• 스케일 불변 노름만 $O(\varepsilon)$일 경우, 고차 정규성 노름의 작음 조건 없이 수명은 최소 $O(\varepsilon^{-5/2})$이다.
• 구성된 에너지 함수 $\mathfrak{E}_j(t)$는 리만 사상 변수에서 명시적이며, 차수 $j$의 물질 도함수를 포함하고, 시간 도함수는 5차 이상의 차수이다.
• 초기 경계면의 파고가 임의일지라도 해는 수명 기간 동안 초기 데이터의 정규성과 동일한 정규성을 유지한다.
• $\left\|\partial_{\alpha'} \frac{1}{Z_{,{\alpha^\prime}}}\right\|_{L^2}$ 및 $\left\|Z_{t,{\alpha^\prime}}\right\|_{\dot{H}^{1/2}}$와 같은 양들은 $\varepsilon$ 또는 다른 항들과 곱한 $\varepsilon$로 제한된다.
• 재스케일링에 의존하는 가정을 피하고, 파고나 초깃속도의 작음 조건 없이 직접 물리 공간에서 장시간 존재성을 증명하는 데 성공한다.