[논문 리뷰] The rational homotopy of mapping spaces of E${}_n$ operads

Benoît Fresse, Victor Turchin외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 17.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 22인용 수 33

한 줄 요약

이 논문은 그래프 복합체를 통해 Eₙ 작용소 간의 사상 공간의 유리수 호모토피 유형을 계산하며, n−m>2이면 Mapʰ(Dₘ,Dₙ)와 Mapʰ(Dₘ,Dₙ^ℚ)의 유리수 호모토피 유형이 동치임을 보여준다. 이는 이중도함수 복합체와 털난 그래프 복합체 사이의 연결고리를 설정함으로써, 낮은 차수에서의 유리수 호모토피 군을 명시적으로 계산하고 고차수에서 비자명한 클래스의 무한한 가닥을 구성하는 데 기여한다.

ABSTRACT

We express the rational homotopy type of the mapping spaces $\mathrm{Map}^h(\mathsf D_m,\mathsf D_n^{\mathbb Q})$ of the little discs operads in terms of graph complexes. Using known facts about the graph homology this allows us to compute the rational homotopy groups in low degrees, and construct infinite series of non-trivial homotopy classes in higher degrees. Furthermore we show that for $n-m>2$, the spaces $\mathrm{Map}^h(\mathsf D_m,\mathsf D_n^{\mathbb Q})$ and $\mathrm{Map}^h(\mathsf D_m,\mathsf D_n)$ are simply connected and rationally equivalent. As application we determine the rational homotopy type of the deloopings of spaces of long embeddings. Some of the results hold also for mapping spaces $\mathrm{Map}_{\leq k}^h(\mathsf D_m,\mathsf D_n^{\mathbb Q})$, $\mathrm{Map}_{\leq k}^h(\mathsf D_m,\mathsf D_n)$, $n-m\geq 2$, of the truncated little discs operads, which allows one to determine rationally the delooping of the Goodwillie-Weiss tower for the spaces of long embeddings.

연구 동기 및 목표

• 유리수 목표를 가진 작은 원판 작용소 Dₘ와 Dₙ^ℚ 사이의 사상 공간 Mapʰ(Dₘ, Dₙ^ℚ)의 유리수 호모토피 유형을 결정하는 것.
• 이 사상 공간의 호모토피 유형을 그래프 복합체, 특히 털난 그래프 복합체와 연결하는 것.
• n−m>2일 때 Mapʰ(Dₘ, Dₙ^ℚ)와 Mapʰ(Dₘ, Dₙ) 사이의 유리수 동치성을 확립하는 것.
• 결과를 적용하여 장거리 임bedding 공간의 델루프링의 유리수 호모토피 유형을 계산하는 것.
• 틀린 작용소로의 프레임워크를 확장하고 굿윌디-우이즈 임베딩 계산법과 연결하는 것.

제안 방법

• dg 코오퍼레이드의 이중도함수 복합체 위에 L∞-대수의 구조를 사용하여 사상 공간을 모델링하는 데 사용.
• dg 호프 Λ-코오퍼레이드의 피브란트 치환과 심플로이드 프레임을 구성하여 유도된 사상 공간을 모델링하는 데 사용.
• 필터링된 L∞-대수 위에서 완비 텐서곱을 통해 메우어-카르탕 공간의 네트워크를 실현하는 데 사용.
• 그래프 복합체 기법을 통해 사상 공간의 호모토피 유형을 털난 그래프의 리 대수의 네트워크와 동일시하는 데 사용.
• 기존의 그래프 호모로지 결과를 적용하여 낮은 차수에서의 유리수 호모토피 군을 계산하는 데 사용.
• 필터링된 L∞-대수와 메우어-카르탕 원소를 사용하여 다양한 필터링 하에서 L∞-대수의 네트워크를 정의하고 비교하는 데 사용.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Mapʰ(Dₘ, Dₙ^ℚ)의 유리수 호모토피 유형은 어떤 조합적 불변량으로 기술될 수 있는가?
• RQ2 n−m>2일 때 Mapʰ(Dₘ, Dₙ^ℚ)와 Mapʰ(Dₘ, Dₙ)의 유리수 호모토피 유형 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 이 사상 공간의 호모토피 군은 그래프 복합체를 사용하여 명시적으로 계산할 수 있는가?
• RQ4 결과는 틀린 작용소와 굿윌디-우이즈 임베딩 계산법으로 어떻게 확장되는가?
• RQ5 필터링의 선택에 관계없이, 필터링된 L∞-대수의 메우어-카르탕 공간의 네트워크 구성은 어느 정도 독립적인가?

주요 결과

• Mapʰ(Dₘ, Dₙ^ℚ)의 유리수 호모토피 유형은 털난 그래프의 리 대수의 네트워크와 동치이며, 특히 HGCₘ,ₙ 그래프 복합체의 네트워크로 표현된다.
• n−m>2일 때, 공간들 Mapʰ(Dₘ, Dₙ^ℚ)와 Mapʰ(Dₘ, Dₙ)는 유리수 동치이며 단순연결되어 있다.
• 낮은 차수에서의 유리수 호모토피 군은 그래프 호모로지 기법을 통해 명시적으로 계산되었으며, 그래프 복합체의 코homology에서 기인한 비자명한 클래스들이 존재한다.
• HGCₘ,ₙ 복합체의 구조를 통해 고차수에서 비자명한 유리수 호모토피 클래스의 무한한 가닥이 구성된다.
• 결과는 틀린 작용소로 확장되어, 장거리 임베딩에 대한 굿윌디-우이즈 타워의 델루프링의 유리수 호모토피 유형을 계산하는 데 기여한다.
• 필터링 가능한 필터링에 대해, 필터링된 L∞-대수의 메우어-카르탕 공간의 네트워크는 약한 동치에 대해 필터링의 선택에 관계없이 독립적이다.