[논문 리뷰] The shifting method and generalized Tur\'{a}n number of matchings

Jian Wang|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 05.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 이동 방법을 적용하여 $M_{k+1}$-free 그래프와 이분 그래프에서 $K_s$ 및 $K^*_{s,t}$의 복제 수의 최대값을 계산함으로써 매칭에 대한 정확한 일반화된 투란 수를 결정한다. 완전 그래프와 완전 스플릿 그래프로부터 유도된 구성과 정확히 일치하는 날카운 상한을 확립함으로써, 이러한 일반화된 투란 문제에 대한 정확한 최대값을 해결한다.

ABSTRACT

Given two graphs $T$ and $F$, the maximum number of copies of $T$ in an $F$-free graph on $n$ vertices is called the generalized Tur\\'{a}n number, denoted by $ex(n,T,F)$. When $T=K_2$, it reduces to the classical Tur\\'{a}n number $ex(n,F)$. Let $M_{k}$ be a matching with $k$ edges and $K^{*}_{s,t}$ a graph obtained from $K_{s,t}$ by replacing the part of size $s$ by a clique of the same size. In this paper, we show that for any $s\\geq 2$ and $n\\geq 2k+1$, \\[ ex(n,K_s,M_{k+1})=\\max\\left\\{\\binom{2k+1}{s}, \\binom{k}{s}+(n-k)\\binom{k}{s-1}\ ight\\}. \\] For any $s\\geq 1$, $t\\geq 2$ and $n\\geq 2k+1$, \\[ ex(n,K_{s,t}^*,M_{k+1})=\\max\\left\\{\\binom{2k+1}{s+t}\\binom{s+t}{t}, \\binom{k}{s}\\binom{n-s}{t}+(n-k)\\binom{k}{s+t-1}\\binom{s+t-1}{t}\ ight\\}. \\] Moreover, we also study the bipartite case of the problem. Let $ex_{bip}(n,T,F)$ be the maximum possible number of copies of $T$ in an $F$-free bipartite graph with each part of size $n$. We prove that for any $s,t\\geq 1$ and $n\\geq k$, \\[ ex_{bip}(n,K_{s,t},M_{k+1})=\\left\\{ \\begin{aligned} &\\binom{k}{s}\\binom{n}{t}+\\binom{k}{t}\\binom{n}{s}, & \\quad s\ eq t, &\\binom{k}{s}\\binom{n}{s},&\\quad s=t. \\end{aligned} \ ight. \\] Our proof is mainly based on the shifting method.

연구 동기 및 목표

• 정확한 일반화된 투란 수 $ex(n, T, M_{k+1})$ 의 값이 $T = K_s$ 및 $T = K^*_{s,t}$ 인 $M_{k+1}$-free 그래프에서 결정되도록 하는 것.
• 일반화된 투란 문제를 이분 그래프 설정으로 확장하여, 균형 잡힌 이분 그래프에서 $ex_{\text{bip}}(n, K_{s,t}, M_{k+1})$ 를 계산하는 것.
• 최대 구성과 일치하는 날카운 상한을 확립하여 일반화된 투란 이론에서 열려 있는 케이스를 해결하는 것.
• 모서리 재배치 중 클리크 및 $K^*_{s,t}$ 복제 수를 유지하거나 증가시키는 데서 이동 방법의 효과성을 보여주는 것.

제안 방법

• $M_{k+1}$-free 그래프를 이동한 그래프로 변환함으로써 $K_s$ 및 $K^*_{s,t}$ 복제 수를 유지하거나 증가시키는 이동 방법이 적용된다.
• 이동한 그래프가 완전 그래프 $2k+1$ 개 정점 또는 완전 스플릿 그래프 $K_k \vee E_{n-k}$ 임을 보여주며, 이는 최대 구성이다.
• $K^*_{s,t}$의 경우, 정점 분포에 따라 집합 $U_0$, $U'$, 및 $U \setminus U_0$ 에 기반한 세 가지 유형으로 복제를 분류하고, 계수 함수의 볼록성을 이용하여 최대값을 유계로 둔다.
• 이분 그래프의 경우, 콘라트의 정리( König-Hall theorem )를 사용하여 크기 $k$ 의 정점 커버 $T$ 를 식별하고, 모든 $M_{k+1}$-free 그래프를 지배하는 완전 스플릿 이분 그래프 $G^*$ 를 도출한다.
• $G^*$ 에서 $K_{s,t}$ 복제 수를 $|X_1| = x$ 의 함수로 계산하고, $x \in \{0, \dots, k\}$ 에서의 최대값을 찾기 위해 볼록성을 이용한다.
• 조각 함수의 최댓값을 $x=0$ 과 $x=k$ 에서 평가함으로써 최대값이 도출되며, 이는 닫힌 형태의 표현식을 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정점 수 $n$ 인 $M_{k+1}$-free 그래프에서 $s \geq 2$ 및 $n \geq 2k+1$ 인 경우, $K_s$ 복제 수의 최대값은 얼마인가요?
• RQ2 정점 수 $n$ 인 $M_{k+1}$-free 그래프에서 $s \geq 1$, $t \geq 2$, 및 $n \geq 2k+1$ 인 경우, $K^*_{s,t}$ 복제 수의 최대값은 얼마인가요?
• RQ3 크기가 $n$ 인 부분집합을 가진 균형 잡힌 $M_{k+1}$-free 이분 그래프에서 $K_{s,t}$ 복제 수의 최대값은 얼마인가요?
• RQ4 이동 방법을 사용하여 $M_{k+1}$ 를 피하면서 $K_s$ 및 $K^*_{s,t}$ 복제 수를 유지하거나 증가시킬 수 있나요?
• RQ5 $M_{k+1}$-free 그래프에서 $K_s$ 및 $K^*_{s,t}$ 복제 수를 최대화하는 최대 구성 그래프는 무엇인가요?

주요 결과

• 모든 $s \geq 2$ 및 $n \geq 2k+1$ 에 대해, 일반화된 투란 수는 $ex(n, K_s, M_{k+1}) = \max\left\{\binom{2k+1}{s}, \binom{k}{s} + (n-k)\binom{k}{s-1}\right\}$ 를 만족한다.
• 모든 $s \geq 1$, $t \geq 2$, 및 $n \geq 2k+1$ 에 대해, $ex(n, K^*_{s,t}, M_{k+1}) = \max\left\{\binom{2k+1}{s+t}\binom{s+t}{t}, \binom{k}{s}\binom{n-s}{t} + (n-k)\binom{k}{s+t-1}\binom{s+t-1}{t}\right\}$ 를 만족한다.
• 이분 그래프의 경우, $s \neq t$ 이면 $ex_{\text{bip}}(n, K_{s,t}, M_{k+1}) = \binom{k}{s}\binom{n}{t} + \binom{k}{t}\binom{n}{s}$ 이고, $s = t$ 이면 $\binom{k}{s}\binom{n}{s}$ 이다.
• 비이분 그래프의 경우, 이 최대값을 달성하는 최대 구성 그래프는 완전 그래프 $K_{2k+1}$ 과 완전 스플릿 그래프 $K_k \vee E_{n-k}$ 이다.
• 이동 연산은 $K_s$ 및 $K^*_{s,t}$ 복제 수를 유지하거나 증가시키며, 계수 함수의 볼록성에 의해 유도된 최대 구성 그래프가 최적임을 보여준다.
• 증명은 이동한 그래프에서 $K_{s,t}$ 복제 수를 세는 함수의 볼록성에 기반하며, 이는 최댓값이 $\ell = 2k+1$ 또는 $\ell = k+1$ 에서 발생함을 보장한다.